Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 52. №3. C. 111 — 130. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-111-130
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.956.4

Содержание выпуска

Read English Version

Двухкомпонентная модель конкуренции с двумя разными свободными границами

Р.Т. Зуннунов^{1,2}, М. С. Расулов^{\ast 1,3}, Р. И. Паровик^4

^1Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, д. 9, Узбекистан
^2[Филиал Российского Государственного Университета нефти и газа (НИУ) имени
И. М. Губкина в Ташкенте, Республика Узбекистан, 100125, г. Ташкент Мирзо-Улугбекский район, ул. Дурмон йули, д. 34., Узбекистан
^3Ташкентский государственный экономический университет, 100066, Ташкент, ул. И. Каримова, д. 49, Узбекистан
^4Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН,
684034, Паратунка, Камчатский край, Россия

Аннотация. В настоящей работе исследуется динамика конкурентной системы Лотки-Вольтерра, содержащей две свободные границы, при этом каждая из границ моделирует фронт распространения одного из двух конкурирующих видов. Рассматривается задача со свободной границей для системы квазилинейных параболических уравнений с нелинейными конвективными членами. В статье сначала для решения задачи устанавливаются априорные оценки норм Гёльдера. На основе априорных оценок доказываются существование и единственность решения. Далее с помощью неявной конечно-разностной схемы находится численное решение задачи, которое характеризует плотности двух противоборствующих популяций. Средствами языка программирования Python проводится визуализация, полученных решений, также строятся графики динамики свободных границ. С точки зрения приложений задача со свободной границей для диффузионной системы Лотки-Вольтерры — это математическая модель, описывающая распространение хищник-жертва в популяции с динамической границей области существования. Эта задача возникает, когда одна из популяций (например, хищник) влияет на границы ареала своей жертвы, либо когда границы ареала формируются под воздействием внешних факторов, а сама диффузия происходит в этой системе.

Ключевые слова: модель; свободные границы; система квазилинейных параболических уравнений; априорные оценки; существование и единственность решений; численный алгоритм; Python

Получение: 13.11.2025; Исправление: 20.11.2025; Принятие: 22.11.2025; Публикация онлайн: 23.11.2025

Для цитирования. Зуннунов Р.Т., Расулов М. С., Паровик Р. И. Двухкомпонентная модель конкуренции с двумя разными свободными границами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 52. № 3. C. 111-130. EDN: CDFHIP. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-111-130.

Финансирование. Работа выполнена в рамках соглашения между ИКИР ДВО РАН и Институтом математики имени В. И. Романовского (г. Ташкент, Узбекистан) №1117 от 28.04.2022 (0469/01/22 НТМИ) по математическим исследованиям.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: rasulovms@bk.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Зуннунов Р.Т., Расулов М. С., Паровик Р. И., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Кружков С. Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Тр. ММО,1967. Т. 16, С. 329–346.
  2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
  3. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 428 с.
  4. Aronson D. G., Weinberger H. F. Nonlinear diffusion in population genetics, combustion and nerve pulse propogation / Partial Differential Equations and Related Topics, Lecture Notes in Mathematics, 446, 1975, pp. 5–49.
  5. Asrakulova D. S., Elmurodov A. N.A reaction-diffusion-advection competition model with a free boundary // Uzb. Math. J., 2021. no. 3.
  6. Cantrell R. S, Cosner C. Spatial ecology via reaction-diffusion equations. England: Wiley, 2003.
  7. Ciliberto C. Formule di maggiorazione e teoremi di esistenza per le soluzioni delle equazioni paraboliche in due variabili // Ricerche di Matem., 1954. vol. 82, pp. 40–75.
  8. Du Y., Lin Z. G. Spreading-vanishing dichotomy in the diffusive logistic model with a free boundary // SIAM J. Math. Anal., 2010. vol. 4, pp. 377–405.
  9. Du Y., Lin Z. G. The diffusive competition model with a free boundary: invasion of a superior or inferior competitor // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 2014. vol. 19, pp. 3105–3132.
  10. Gu H, Lin Z. G., Lou B. D. Long time behavior for solutions of Fisher-KPP equation with advection
    and free boundaries // J. Funct. Anal., 2015. vol. 269, pp. 1714–1768.
  11. Guo J. S., Wu C. H.On a free boundary problem for a two-species weak competition system // J Dyn Diff Equat, 2012. vol. 24, pp. 873–895.
  12. Guo J. S., Wu C. H. Dynamics for a two-species competition-diffusion model with two free boundaries // Nonlinearity, 2015. vol. 28, pp. 1–27.
  13. Lockwood M. F, Hoopes M. F., Marchetti M.P. Invasion Ecology. Oxford: Blackwell Publishing, 2013.
  14. Pao C. V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York: Plenum Press, 1992.
  15. Ren X., Liu L.A weak competition system with advection and free boundaries // J. Math. Anal. Appl., 2018. vol. 463, pp. 1006–1039.
  16. Shigesada N., Kawasaki K. Biological Invasions: Theory and Practice, Oxford Series in Ecology and Evolution. Oxford: Oxford University Press, 1997.
  17. Takhirov J. O.A free boundary problem for a reaction-diffusion equation in biology // Indian J. Pure Appl. Math., 2019. vol. 50, pp. 95–112.
  18. Takhirov J. O., Rasulov M. S. Problem with free boundary for systems of equations of reactiondiffusion type // Ukr. Math. J., 2018. vol. 69, pp. 1968–1980.
  19. Wang R., Wang L., Wang Zh. Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term // J. Math. Anal. Appl., 2018. vol. 467, pp. 1233–1257.
  20. Wang M., Zhao J. Free Boundary Problems for a Lotka-Volterra Competition System // Jour. Dyn. Differ. Equ., 2014. vol. 26, pp. 1–21.
  21. Wang M., Zhang Y.Two kinds of free boundary problems for the diffusive prey-predator model //
    Nonlinear Anal. Real World Appl., 2015. vol. 24, pp. 73–82.
  22. Wu C. H. The minimal habitat size for spreading in a weak competition system with two free
    boundaries // J. Differential Equation, 2015. vol. 259, pp. 873–897.
  23. Tadmor E. A review of numerical methods for nonlinear partial differential equations // Bulletin of
    the American Mathematical Society, 2012. vol. 49, no. 4, pp. 507-554.
  24. Shaw Z. A. Learn Python the Hard Way: Addison-Wesley Professional, 2024.
  25. Van Horn B.M., Nguyen Q. Hands-On Application Development with PyCharm: Build Applications Like a Pro with the Ultimate Python Development Tool: Packt Publishing Ltd, 2023.

Зуннунов Рахимжон Темирбекович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0001-9392-5464.

Расулов Мирожиддин Собиржонович – кандитат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт Математики имени В.И.Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0003-0704-6012.

Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов, Институт космофизических исследований и распространений радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.

Читать статьюСкачать статью