Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. C. 20-30. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-20-30

УДК 517.956.4

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ

О. С. Зикиров, М. М. Сагдуллаева

Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, ул. Университетская 4, 100174, г. Ташкент. Республика Узбекистан

E-mail: zikirov@yandex.ru,sagdullayevam@mail.ru

В работе доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений одной нелокальной задаче с интегральным условием для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части. Доказательство основано на сведение поставленной задачи к смешанной задаче для нагруженного уравнения теплопроводности.

Ключевые слова: краевая задачи, нелокальное условие, нелокальная задача, параболическое уравнение, функция Грина, интегральные уравнения.

© Зикиров О. С., Сагдуллаева М. М., 2020

MSC 35K20, 35K35

SOLVABILITY OF A NON–LOCAL PROBLEM FOR A THIRD—ORDER EQUATION WITH THE HEAT OPERATOR IN THE MAIN PART

O. S. Zikirov, M M. Sagdullayeva

National University of Uzbekistan after named Mirzo Ulugbek, 100174. Universitetskaya St., 4. Tashkent. Republic of Uzbekistan

E-mail: zikirov@yandex.ru,sagdullayevam@mail.ru

In this paper, we considered the solvability of a non–local problem with integral condition for a third–order equation with head operatot in the main part. The existence and uniqueness of a regular solution to this problem are proved. The proof is based on reducing a non-local problem to the mixed problem for a loaded heat equation.

Key words: boundary–value problem, non–local condition, non–local problem, parabolic equation, Green’s function, Volterra integral equation.

© Zikirov O. S., Sagdullayeva M M., 2020

Список литературы/References

1. Баренблатт Г. Н., Желтов Ю. П., Кочина И. Н., “Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах”, Прикладная математика и механика, 24:5 (1960), 852–864. [Barenblatt G. I., Zheltov Yu. P., Kochina I. N., “Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks”, J. Appl. Math. Mech., 24:5 (1960), 1286–1303].
2. Дзекцер Е. С., “Уравнения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах”, Доклады АН СССР, 220:3 (1975), 540–543. [Dzektser E. S., “Equation of motion of underground water with a free surface in multilayer media”, Soviet Physics Doklady, 20:3 (1975)].
3. Чудновский А. Ф., Теплофизика почвы, Наука, М., 1976, 352 с. [Chudnovsky A. F., Thermophysics of the soil, Nauka, Moscow, 1976, 352 pp.]
4. Голованчиков А. В., Симонова И. Э., Симонов Б. В., “Решение диффузионной задачи с интегральным граничным условием”, Фундамент. и прикладн. матем., 7:2 (2001), 339–349. [Golovanchikov A. B., Simonova I. E., Simonov B.V.,, “The solution of diffusion problem with integral boundary condition”, Fundam. Prikl. Mat., 7:2 (2001), 339–349].
5. Cannon J.R. J., “The solution of the heat equation subject to the specification of energy”, Quart. Appl. Math., 21:2 (1963), 155 – 160.
6. Камынин Л. И., “Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями”, Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 4:4 (1964), 1006–1023. [Kamynin L. I., “A boundary value problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition”, Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 4:6 (1964), 33–59].
7. Ионкин Н. И., “Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелолкальным условием”, Дифференц. уравнения, 13:2 (1977), 294–304. [Ionkin N. I., “The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition”, Differ. Uravn., 13:2 (1977), 294-304].
8. Ионкин Н. И., Моисеев Е. И., “О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями”, Дифференц. уравнения, 15:7 (1979), 1284–1295. [Ionkin N. I., Moiseev E. I., “A problem for a heat equation with two-point boundary conditions”, Differ. Uravn., 15:7 (1979), 1284–1295].
9. Самарский А. А., “О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений”, Дифференц. уравнения, 16:11 (1980), 1925–1935. [Samarskii A. A., “Some problems of the theory of differential equations”, Differ. Uravn., 16:11 (1980), 1925–1935].
10. Юрчук Н. И., “Смешанная задача с интегральным условием для некоторых араболических уравнений”, Дифференц. уравнения, 22:12 (1986), 2117-–2126. [Yurchuk N. J., “A mixed problem with an integral condition for some parabolic equations”, Differ. Uravn, 22:12 (1986), 2117–2126].
11. Кожанов А. И., “Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений”, Сиб. журн. индустр. матем., 7:1 (2004), 51-–60. [Kozhanov A. I. , “A timenonlocal
    boundary value problem for linear parabolic equations”, Sib. Zh. Ind. Mat., 7:1 (2004), 51–60].
12. Джураев Т. Д., Попелек Я., “О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка”, Дифференц. уравнения, 27:10 (1991), 1734 – 1745. [Dzhuraev T. D., Popelek Ya., “Classification and reduction to canonical form of third-order partial differential equations”, Differ. Equ., 27:10 (1991), 1225–1235].
13. Кожанов А. И., “Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера”, Дифференц. уравнения., 40:6 (2004), 763– 774. [Kozhanov A. I., “On a nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation”, Differ. Equ., 40:6 (2004), 815–826].
14. Кожанов А. И., Попов Н. С., “О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений”, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 10:3 (2010), 46-–62. [Kozhanov A. I., Popov N. S., “On solvability to nonlocal boundary value problems for pseudoparabolic equations”, J. Math. Sci., 186:3 (2012), 438–452].
15. Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с. [Nakhushev A. M., Moscow, 1995, 301 pp.]
16. Орынбасаров М. О., “Решение смешанной краевой задачи для уравнения третьего порядка составного типа в полуполосе”, Известия НАН РК. Сер. физ.–матем., 2009, №1, 3–8. [Орынбасаров М. О., “Solution of a mixed problem for a third–order equation of composite type in a half-band”, Izv. NAN RK, Ser. Phis.–math., 2009, №1, 3-8].
17. Джураев Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, Фан, Ташкент, 1979, 240 с. [Dzhuraev T. D., Fan Publ., Tashkent, 1979, 120 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

1. Баренблатт Г. Н., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 5, С. 852–864.
2. Дзекцер Е. С. Уравнения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Доклады АН СССР. 1975. Т. 220, № 3, С. 540–543.
3. Чудновский А. Ф. Теплофизика почвы. М.: «Наука», 1976.  352 с.
4. Голованчиков А. В., Симонова И. Э., Симонов Б. В. Решение диффузионной задачи с интегральным граничным условием // Фундамент. и прикладн. матем. 2001. Т. 7. вып. 2. С. 339–349.
5. Cannon J.R. J. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. 1963. vol. 21. no. 2.  pp. 155-160.
6. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1964. Т. 4. №4. С. 1006–1023.
7. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелолкальным условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №2. С. 294–304.
8. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. №7. С. 1284–1295.
9. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. №11. С.1925–1935.
10. Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых араболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №12. С. 2117-2126.
11. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. матем. 2004. Т. 7. №1. С. 51-60.
12. Джураев Т.Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. №10.  С. 1734 -1745.
13. Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера.Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. №6. С. 763 – 774.
14. Кожанов А.И., Попов Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений. Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. 2010. Т. 10. вып. 3. С. 46-62.
15. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 c.
16. Орынбасаров М.О. Решение смешанной краевой задачи для уравнения третьего порядка составного типа в полуполосе //Известия НАН РК. Сер. физ.–матем. 2009. №1. С. 3–8.
17. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: «Фан», 1979. 240 с.

Для цитирования: Зикиров О. С., Сагдуллаева М. М. Разрешимость нелокальной задачи для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. C. 20-30. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-20-30.
For citation: Zikirov O. S., Sagdullayeva M M. Solvability of a non–local problem for a third–order equation with the heat operator in the main part, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 30: 1, 20-30. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-20-30.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 22.03.2020

---

---

---