Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 50. №1. C. 78 — 91. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-78-91
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 519.2

Содержание выпуска

Read English Version

Посвящается 80-ию академика АН РУз Ш.А. Алимова

Перидинамическая модель колебаний в двумерной периодической структуре

А. В. Юлдашева^{\ast}

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Ташкентский филиал, 100060, г. Ташкент, ул. Амира Темура, 22, Узбекистан

Аннотация. В отличие от классической механики сплошной среды, где линеаризованная модель описывается уравнениями в частных производных, перидинамическая модель приводит к интегро-дифференциальному уравнению с сингулярным ядром. Этот метод относится к категории нелокальных, поскольку частицы, разделенные конечным расстоянием, могут взаимодействовать друг с другом. Это позволяет описывать процессы, происходящие в структурах с трещинами и разрывами. Разрушение считается естественным результатом деформации, возникающей из уравнения движения и конститутивной модели. Следовательно, моделирование роста трещины в перидинамической структуре не требует дополнительных данных или уравнений, которые были бы необходимы в традиционной механике разрушения для определения зарождения трещины. В исследовании рассматривается перидинамическая модель на двумерной периодической структуре, связанной с графеном — двумерной аллотропной формой углерода. Ее можно рассматривать как одну плоскость слоистого графита, отделенную от объемного кристалла. Оценки показывают, что графен обладает высокой механической жесткостью и рекордной теплопроводностью. Его исключительно высокая подвижность носителей заряда, которая является самой высокой среди всех известных материалов (при той же толщине), делает его перспективным материалом для различных приложений, в частности, как будущая основа для наноэлектроники. В работе исследуется гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее колебания в двумерной периодической структуре. Найдено преобразование, позволяющее регуляризовать сингулярный интегральный оператор, участвующий в уравнении. Это позволило получить единственное решение задачи во введенном пространстве Соболева.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, сингулярный интегральный оператор, перидинамика

Получение: 03.04.2025; Исправление: 15.04.2025; Принятие: 17.04.2025; Публикация онлайн: 18.04.2025

Для цитирования. Yuldasheva A. V. Peridynamic model of vibrations in a two-dimensional periodic structure // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 50. № 1. C. 78-91. EDN: LRTAJN. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-78-91.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: a_v_yuldasheva@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Yuldasheva A. V., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Alimov S. A., Cao Y., Ilhan O. A.On the problems of peridynamics with special convolution kernels // J. of Integral Equations and Applications, 2014. vol. 26, no. 3, pp. 301-321.
  2. Alimov S. A., Sheraliev S.On the solvability of the singular equation of peridynamics, // Complex Variables and Elliptic Equations, 2019. vol. 64, no. 5, pp. 873-887 DOI: 10.1080/17476933.2019.1565406.
  3. Alimov S. A., Sheraliev S. N.On the solvability of hypersingular equation of peridynamics // Bulletin of National University of Uzbekistan, Mathematics and Natural Sciences,, 2020. vol. 3, no. 4, pp. 278-298.
  4. Alimov Sh. A., Yuldasheva A. V.On the Solvability of the Peridynamic Equation with a Singular Kernel // Differential Equations, 2021. vol. 57, no. 3, pp. 353–365 DOI: 10.1134/S0012266121030083.
  5. Alimov Sh. A., Yuldasheva A. V.A Solvability of Singular Equations of Peridynamics on Two- Dimensional Periodic Structures // J Peridyn Nonlocal Model, 2023. vol. 5, no. 3, pp. 241–259 DOI:10.1007/s42102-021-00070-1.
  6. Du Q., Kamm J. R., Lehoucq R. B., Parks Michael L.A new approach for a nonlocal, nonlinear conservation law // SIAM J. Appl. Math., 2012. vol. 72, no. 1, pp. 464–487 DOI: 10.1137/110833233.
  7. Du Q., Zhou K. Mathematical analysis for the peridynamic nonlocal continuum theory // Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2011. vol. 45, no. 2, pp. 217-234 DOI: 10.1051/m2an/2010040.
  8. Emmrich E., Lehoucq R., Puhst D.Peridynamics: A Nonlocal Continuum Theory // Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 2013. vol. 89, pp. 45-65.
  9. Gunzburger M., Lehoucq R.A nonlocal vector calculus with application to nonlocal boundary value problems // Multiscale Model. Simul., 2010. vol. 8, no. 5, pp. 1581-1598 DOI: 10.1137/090766607.
  10. Kantorovich L. V., Akilov G.P. Functional Analysis. Moscow: Nauka, 1977 (In Russian).
  11. Nikol’skiy S. M. Approximation of functions of several variables and imbedding theorems. New York: Springer-Verlag, 1971. 418 pp.
  12. Seleson P., Parks Michael L., Gunzburger M., Lehoucq R. B.Peridynamics as an upscaling of molecular dynamics // Multiscale Model. Simul., 2009. vol. 8, no. 1, pp. 204-207 DOI: 10.1137/09074807X.
  13. Silling S. A. Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces // J. Mech. Phys. Solids, 2000. vol. 48, no. 1, pp. 175-209 DOI: 10.1016/S0022-5096(99)00029-0.
  14. Silling S. A., Bobaru F.Peridynamic modeling of membranes and fibers // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2005. vol. 40, no. 1, pp. 395-409.
  15. Titchmarsh E. C. Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations. Oxford: Clarendon Press, 1958. 436 pp.
  16. Watson G. N. A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge: Cambridge University Press, 1944. 814 pp.
  17. Zhou K., Du Q. Mathematical and numerical analysis of linear peridynamic models with nonlocal boundary conditions //SIAM J. Numer. Anal., 2010. vol. 48, no. 5, pp. 1759–1780 DOI: 10.1137/090781267.
  18. Yuldasheva A. V. Initial data problem for an equation related to a peridynamic model in a two dimensional domain // Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2021. vol. 37, no. 4, pp. 45–52 DOI: 10.26117/2079-6641-2021-37-4-45-52 (In Russian).

Юлдашева Асал Викторовна – доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Ташкентский филиал, г. Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0001-6861-8331.

Read articleСкачать статью