Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 51. №2. C. 45 — 56. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-51-2-45-56
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.956.4/.44

Содержание выпуска

Read English Version

Нелокальная начально-краевая задача для вырожденного уравнения второго порядка с дробной производной Капуто и интегралом Римана-Лиувилля

Д. Ф. Усмонов^{\ast}, А. Н. Омонова

Ферганский государственный университет, 150100, г. Фергана, ул. Мурраббиялар 19, Республика Узбекистан

Аннотация. В последнее время интенсивно изучаются начально-краевые задачи в прямоугольной области для дифференциальных уравнений в частных производных как четного, так и нечетного порядка. При этом в качестве объекта исследования берутся невырожденные уравнения или уравнения, вырождающиеся на одной стороне четырехугольника. Однако начально-краевые задачи (как локальные, так и нелокальные) для уравнений с двумя или тремя линиями вырождения остаются неисследованными. В данной работе в прямоугольной области рассматривается уравнение второго порядка, вырождающееся на двух сторонах прямоугольника и содержащее с дробной производной Капуто и интегрооператоры Римана-Лиувилля. Для этого уравнения формулируется и исследуется начально-краевая задача с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции и ее производных до третьего порядка (включительно), взятые на сторонах прямоугольника. С самого начала единственность решения сформулированной задачи доказывалась методом интегралов энергии. Затем исследована спектральная задача, возникающая при применении метода Фурье, основанного на разделении переменных, к рассматриваемой начально-краевой задаче. Построена функция Грина спектральной задачи, с помощью которой она эквивалентно сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, что влечет существование счетного числа собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема о разложении заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. Решение рассматриваемой задачи записывается в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Исследуется равномерная сходимость этого ряда и ряда, полученного из него почленным дифференцированием. Получена оценка решения задачи, из которой следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Ключевые слова: начально-краевая задача, дробная производная Капуто, вырожденное дифференциальное уравнение, функции типа Миттаг-Леффлера двух переменных

Получение: 23.06.2025; Исправление: 09.09.2025; Принятие: 10.09.2025; Публикация онлайн: 22.09.2025

Для цитирования. Usmonov D. A., Omonova A. N. Non-Local initial-Boundary value problem for a degenerate second order equation with fractional Caputo derivative and Riemann-Liouville integral //Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 51. № 2. C. 45-56. EDN: IEXHAM. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-51-2-45-56.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: usmonov-doniyor@inbox.ru, adibaxonomonova@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Usmonov D. A., Omonova A. N., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Dzhrbashyan M. M., Neressyan A. B. Fractional derivatives and the Cauchy problem for differential equations of fractional order , Bulletin of the Armenian Academy of Sciences. Mathematics, 1968. vol. 3, no. 1, pp. 3–29 (In Russian).
  2. Dzhrbashyan M.M. Boundary value problem for a fractional order differential operator of Sturm- Liouville type , Bulletin of the Armenian Academy of Sciences. Mathematics, 1970. vol. 5, no. 2, pp. 71–96 (In Russian).
  3. Nakhushev A. M. Sturm-Liouville problem for an ordinary second-order differential equation with fractional derivatives in lower terms , Doklady Akademii Nauk SSSR, 1977. vol. 234, no. 2, pp. 308–311 (In Russian).
  4. Aleroev T. S.On the zeros of the Mittag-Leffler function and the spectrum of a fractional order differential operator , Differential Equations, 2000. vol. 36, no. 9, pp. 1278–1279 (In Russian).
  5. Pskhu A. V. Partial differential equations of fractional order. Moscow: Nauka, 2005 (In Russian).
  6. Nakhushev A. M. Fractional calculus and its applications. Moscow: Fizmatlit, 2003 (In Russian).
  7. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional integrals and derivatives and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987 (In Russian).
  8. Karimov E. T., Toshternirov B. H.Tricomi type problem with integral conjugation condition for a mixed type equation with the hyper-Bessel fractional differential operator , Bulletin of the Institute of Mathematics, 2019. vol. 4, pp. 9–14.
  9. Abdullaev O. Kh.On a problem for a degenerate mixed-type equation with Caputo and Erdélyi- Kober fractional operators , Ukrainian Mathematical Journal, 2019. vol. 71, no. 6, pp. 723–738 (In
    Russian).
  10. Masaeva O. Kh. Dirichlet problem for a generalized Lavrent’ev-Bitsadze equation with Gerasimov-Caputo fractional derivative , Applied Mathematics and Physics, 2020. vol. 52, no. 4, pp. 246–254 (In Russian).
  11. Islomov B. I., Abdullaev O. Kh. Gellerstedt type problems for a loaded equation of parabolichyperbolic type with Caputo and Erdélyi-Kober fractional operators, Russian Universities Reports. Mathematics, 2020. no. 10, pp. 33–46 (In Russian).
  12. Islomov B. I., Ubaydullaev U. Sh. Inverse problem for a mixed-type equation with fractional order operator in rectangular domain , Russian Universities Reports. Mathematics, 2021. no. 3, pp. 29–46 (In Russian).
  13. Urinov A. K., Karimov E. T., Kerbal S. Boundary value problem with integral conjugation condition for a partial differential equation with Riemann-Liouville fractional derivative related to gas flow in a channel surrounded by porous medium , Results in Science and Technology. Series: Contemporary Mathematics and Its Applications. Topical Reviews, 2022. vol. 210, pp. 66–76 (In Russian).
  14. Karimov E. T., Ruzhansky M., Toshternirov B. Y. Solvability of the boundary-value problem for a mixed equation involving hyper-Bessel fractional differential operator and bi-ordinal Hilfer fractional derivative, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2022, pp. 1–17.
  15. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204. Amsterdam North-Holland Mathematics Studies: Elsevier, 2006.
  16. Bateman H., Erdélyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 1. Moscow: Nauka, 1965 (In Russian).
  17. Naimark M. A. Linear Differential Operators. Moscow: Nauka, 1969. 528 pp. (In Russian)
  18. Mikhlin S. G. Lectures on Linear Integral Equations. Moscow: Fizmatlit, 1959 (In Russian).
  19. Urinov A. K., Usmonov D. A. Non-local initial-boundary value problem for a degenerate fourthorder equation with a fractional Gerasimov-Caputo derivative, Bulletin of KRAUNC. Physical and Mathematical Sciences, 2023. vol. 42, no. 1, pp. 123–139 10.26117/2079-6641-2023-42-1-123-139.
  20. Kapilevich M. B. The solution of singular Cauchy problems in basis series , Ukrainian Mathematical Journal, 1967.. vol. 3, no. 9, pp. 1560-1577.
  21. Garg M., Manohar P., Kalla S. L.A Mittag-Leffler-type function of two variables , Integral Transforms and Special Functions, 2013, pp. [to be added] 10.1080/10652469.2013.789872.
  22. Hasanov A., Karimov E. T. arXiv:2501.03918 [math.CA] https://arxiv.org/pdf/2501.03918, 2024.

Информация об авторах

Усмонов Дониёр Абдумутолиб угли – кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Ферганского государственного университета, Фергана, Узбекистан, ORCID https://orcid.org/0000-0002-3574-075X.

Омонова Адиба Нуъмонжон кизи – научный сотрудник, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, Ферганский государственный университет, Фергана, Узбекистан, ORCID http://orcid.org/0009-0007-1059-2862.

Читать статьюСкачать статью