Вестник КРАУНЦ.Физ.-мат. науки. 2021. Т. 34. №1. C. 47-56. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

УДК 517.956.4

Научная статья

Нелокальная задача с интегральным условием для нагруженного уравнения теплопроводности

М.М. Сагдуллаева

Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Республика Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, 4

E-mail: sagdullayevmm@mail.ru

В работе рассмотрена нелокальная задача с интегральным условием для нагруженного уравнения теплопроводности, где нагруженное слагаемое представляет собой производную второго порядка от неизвестной функции в начале координат. Доказано существование и единственность регулярного решения. С помощью функции Грина и тепловых потенциалов доказанао существование регулярного решения исследуемой задачи. Доказательство основано на редукции поставленной задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода со слабой особенностью. Из разрешимости полученных интегральных уравнений Вольтерра следует существование единственного решения поставленной задачи.

Ключевые слова: нелокальная задача, интегральное условие, нагруженное уравнение, теплопроводность, функция Грина.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-47-56

Поступила в редакцию: 22.01.2021

В окончательном варианте: 01.04.2021

Для цитирования. Сагдуллаева М. М. Нелокальная задача с интегральным условием для нагруженного уравнения теплопроводности // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021.
Т. 34. № 1. C. 47-56. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-47-56

Финансирование. Работа выполнена при поддержке Министерства инновационного развития РУз, грант ОТ–Ф4–(36+32).

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответсвенность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Сагдуллаева М. М., 2021

MSC 35К10, 35К20

Research Article

Nonlocal problem with the integral condition for a loaded heate equation

M. M. Sagdullayeva

National University of Uzbekistan after named Mirzo Ulugbek, Tashkent, Republic of Uzbekistan, 4, Universitetskaya str., Tashkent, 100174, Republic of Uzbekistan.

E-mail: sagdullayevmm@mail.ru

In this paper, we consider a non-local problem with the integral condition for the loaded heat equation, where the loaded term is a derivative of the second order from an unknown function at the origin. The existence and uniqueness of a regular solution is proven. Using the Green’s functions and thermal potentials, the existence of a regular solution to this problem is proved. The proof is based on the reduction of the formulated problem to the second kind Volterra integral equation with a weak singularity. The solvability of the obtained Volterra integral equations implies the existence of a unique solution to the problem.

Key words: non-local problem, integral condition, loaded equation, thermal conductivity, Green’s function.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-47-56

Original article submitted: 22.01.2021

Revision submitted: 01.04.2021

For citation. Sagdullayeva M. M. Nonlocal problem with the integral condition for a loaded heate equation. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 34: 1, 47-56. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-47-56.

Funding. This work was supported by the Ministry of Innovative Development of the Republic of Uzbekistan, grant OT — F4 — (36 + 32).

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

Acknowledgments. The authors are deeply grateful to the referee for a number of comments that contributed to the improvement of the article.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International
License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Sagdullayeva M. M., 2021

Список литературы/References

1. Аттаев А. Х., “О некоторых задачах для нагруженного дифференциального уравнения в частных производных первого порядкаю”, Вестник КРАУНЦ. Физико–математические науки, 2016, №4–1(16), 9–14. [Attaev A. H., “On some problems for loaded partial differential equation of the first order”, Vestnik KRAUNC. Fiziko–matematicheskie nauki, 2016, №4-1(16), 9–14 (in Russian)].
2. Аттаев А. Х., Искаков С. А., Каршигына Г. Ж., Рамазанов М. И., “Первая краевая задача для уравнения теплопроводности с нагрузкой дробного порядка I”, Вестник КарГУ. Серия Математика, 2014, №4(16), 11–16. [Attaev A. H., Iskakov S. A., Karshigina G. J., Ramazanov M. I., “Pervaja kraevaja zadacha dlja uravnenija teploprovodnosti s nagruzkoj drobnogo porjadka I”, Vestnik KarGU. Serija Matematika, 2014, №4(16), 11–16 (in Russian)].
3. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н., Сборник задач по математической физики, Наука, М., 1989, 688 с. [Budak B. M., Samarskiy A. A., Tixonov A.Y., Sbornik zadach po matematicheskoy fiziki, Nauka, M., 1989 (in Russian), 688 pp.]
4. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И., Нагруженные уравнения — как возмущения дифференциальных уравнений, Гылым, Алматы, 2010, 334 с. [Dzhenaliev M. T., Ramazanov M. I., Nagruzhennye uravnenija — kak vozmushhenija differencial’nyh uravnenij, Gylym, Almaty, 2010 (in Russian), 334 pp.]
5. Джураев Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, Фан, Ташкент, 1979, 240 с. [Dzhuraev T. D., Kraevye zadachi dlja uravnenij smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov, Fan, Tashkent, 1979 (in Russian), 220 pp.]
6. Зикиров О. С., Холиков Д. К. Об одной задаче для нагруженного псевдопараболического уравнения третьего порядка, Математические заметки СВФУ, 23:2 (2016), 19–30. [Zikirov O. S., Kholikov D. K., “On some problem for a loaded pseudoparabolic equation of the third order”, Mathematical notes of NEFU, 23:2 (2016), 19-–30 (in Russian)].
7. Кожанов А. И., “Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче”, Математические заметки, 76:6 (2004), 840–853. [Kozhanov A. I., “A Nonlinear Loaded Parabolic Equation and a Related Inverse Problem”, Matematicheskie zametki, 76:6 (2004), 840–853 (in Russian)].
8. Кожанов А. И., “Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 44:4 (2004), 694–716. [Kozhanov A. I., “Nonlinear loaded equations and inverse problems”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 44:4 (2004), 657-–675 (in Russian)].
9. Нахушев А. М., Нагруженные уравнения и их приложения, Наука, М., 2012, 232 с. [Nahushev A. M., Nagruzhennye uravnenija i ih prilozhenija, Nauka, M., 2012 (in Russian), 232 pp.]
10. Орынбасаров М. О., “Решение смешанной задачи для уравнения третьего порядка составного типа в полуполосе”, Изв. НАН РК. Серия физико–математическая, 2009, №1, 3–8. [Orynbasarov M. O., “Reshenie smeshannoj zadachi dlja uravnenija tret’ego porjadka
    sostavnogo tipa v polupolose”, Izvestija NAN RK, Serija fiziko-matematicheskaja, 2009, №3–8 (in Russian)].
11. Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, ИЛ, М., 1957, 443 с. [Trikomi F., Leksii po uravnenijam v chastnyx proizvodnyx, IL, M., 1957 totalpages 443 (in Russian)].
12. Yesbayeva A. N., Yessenbayeva G. A., Ramazanov M. I., “Investigation of the model for the essentially loaded heat equation”, Eurassian Physical Technical Journal, 16:1(31) (2019), 113–120.
13. Zikirov O. S., Kholikov D. K., “Solvability of a mixed problem with an integral condition for a third-order hyperbolic equation”, Journal of Mathematical Sciences, 245:3 (2020), 323–331.