Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №1. C. 104 — 123. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-104-123
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 532.5:517.958:534.1

Содержание выпуска

Read English Version

Символьное исследование и численные эксперименты на разностной схеме для волновых процессов в соосных цилиндрических оболочках, заполненных несжимаемой вязкой жидкостью

А. В. Месянжин^{\ast}

АО «Конструкторское бюро промышленной автоматики», 410005, Россия, г. Саратов, ул. Большая Садовая, д. 239

Аннотация. Исследуются волновые процессы в системе двух соосных бесконечно длинных цилиндрических упругих оболочек, пространство между которыми заполнено вязкой несжимаемой жидкостью. На основе связанной задачи гидроупругости и метода возмущений получена математическая модель в виде системы обобщенных уравнений Кортевега-де Вриза. Для её численного решения с использованием базисов Грёбнера построена неявная консервативная разностная схема типа Кранка-Николсона. Качество схемы анализируется методом первого дифференциального приближения, позволяющего оценить локальную погрешность аппроксимации. Для анализа глобальной погрешности предложена и применена функция накопления ошибки. Теоретический анализ дополнен численными экспериментами, в которых исследуется передача волнового возмущения от внешней оболочки к внутренней при различных параметрах жидкости. Показано, что погрешность схемы локализована преимущественно на фронтах волн, зависит от волнового числа и параметров нелинейности, а также остаётся управляемой в ходе расчётов. Результаты подтверждают корректность, устойчивость и эффективность предложенной разностной схемы для моделирования волновых процессов в рассматриваемых сложных механических системах.

Ключевые слова: базисы Гребнера, разностные схемы, первое дифференциальное приближение, уравнение Кортевега–де Вриза, нелинейные оболочки, вязкая жидкость

Получение: 30.12.2025; Исправление: 04.02.2026; Принятие: 07.02.2026; Публикация онлайн: 29.03.2026

Для цитирования. Месянжин А. В. Символьное исследование и численные эксперименты на разностной схеме для волновых процессов в соосных цилиндрических оболочках, заполненных несжимаемой вязкой жидкостью // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 1. C. 104-123. EDN: RWPRSV. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-104-123.

Финансирование. Финансирование не проводилось.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: a.v.mesyanzhin@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Месянжин А. В., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Горшков А. Г., Медведский А. Л., Рабинский Л. Н., Тарлаковский Д. В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004. 472 с.
  2. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд. дом «Интеллект», 2010. 368 с.
  3. Nariboli G.A., Sedov A. Burgers’s-Korteweg-De Vries equation for viscoelastic rods and plates// J. Math. Anal. Appl., 1970. vol. 32, pp. 661–677 DOI: 10.1016/0022-247X(70)90290-8.
  4. Ерофеев В. И., Кажаев В. В. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в стержне// Вычисл. мех. сплош. сред, 2017. Т. 10, №2, С. 127–136 DOI:
    10.7242/1999-6691/2017.10.2.11.
  5. Бочкарев А. В., Землянухин А. И., Могилевич Л. И.Уединенные волны в неоднородной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с упругой средой // Акустический журнал, 2017. Т. 63, №2, С. 145–151 DOI: 10.7868/S0320791917020022.
  6. Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V., Andrianov I.V., Erofeev V.I. The Schamel-Ostrovsky equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells// J. Sound Vib., 2021. vol. 491, pp. 115752 DOI: 10.1016/j.jsv.2020.115752.
  7. Громека И. С. О скорости распространения волнообразного движения жидкостей в упругих трубках / Громека И. С. Собрание сочинений. М., Изд-во АН СССР, 1952, С. 172–183.
  8. Жуковский Н. Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. М., Л.: Гостехиздат, 1949. 103 с.
  9. Womersley J.R. Oscillatory motion of a viscous liquid in a thin-walled elastic tube. I. The linear approximation for long waves// Phil. Mag., 1955. vol. 46, pp. 199–221 DOI: 10.1080/14786440208520564.
  10. Païdoussis M.P. Fluid-structure interactions. Slender structures and axial flow. Vol. 2. London: Elsevier Academic Press, 2016. 942 DOI: 10.1016/C2011-0-08058-4 pp.
  11. Блинкова А. Ю., Блинков Ю.А., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии// Вычисл. мех. сплош. сред, 2013. Т. 6, №3, С. 336–345 DOI: 10.7242/1999-6691/2013.6.3.38.
  12. Блинков Ю.А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И.Распространение нелинейных волн в соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью// Вычисл. мех. сплош. сред, 2017. Т. 10, №2, С. 172–186 DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.15.
  13. Бочкарёв С. А., Матвеенко В. П.Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости// Вычисл. мех. сплош. сред, 2013. Т. 6, №1, С. 94–102 DOI: 10.7242/1999-6691/2013.6.1.12.
  14. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
  15. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.
  16. Блинков Ю.А., Кондратова Ю.Н., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Математическое моделирование нелинейных волн в соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2016. Т. 16, №3, С. 331–336 DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-3-331-336.
  17. Слюняев А. В., Пелиновский Е. Н. Динамика солитонов большой амплитуды// ЖЭТФ,1999. Т. 116, №1, С. 318–335.
  18. Crank J., Nicolson P.A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type// Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1947. vol. 43, no. 1, pp. 50–67 DOI: 10.1017/S0305004100023197.
  19. Gerdt V.P., Blinkov Yu.A., Mozzhilkin V.V. Gröbner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations// Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2006. vol. 2, pp. 26 DOI: 10.3842/SIGMA.2006.051.
  20. Блинков Ю.А., Гердт В. П., Маринов К. Б. Дискретизация квазилинейных эволюционных уравнений методами компьютерной алгебры// Программирование, 2017. №2, С. 28–34.
  21. Яненко Н. Н., Шокин Ю.И. Первое дифференциальное приближение разностных схем для гиперболических систем уравнений // Сибирский математический журнал, 1969. Т. 10, С. 868–880 DOI: 10.1007/BF00971662.
  22. Шокин Ю.И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике: Наука, 1985. 368 с.
  23. Gerdt V.P., Robertz D. Consistency of Finite Difference Approximations for Linear PDE Systems and its Algorithmic Verification / Proceedings of the 2010 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC), 2010, pp. 53–59.
  24. Gerdt V.P. Consistency Analysis of Finite Difference Approximations to PDE Systems / Mathematical Modelling in Computational Physics 2011, 7125, 2012, pp. 28–42.
  25. La Scala R. Gröbner bases and gradings for partial difference ideals// Mathematics of Computation, 2015. vol. 84, no. 293, pp. 959–985.
  26. Блинкова А. Ю., Малых М. Д., Севастьянов Л. А.О дифференциальных приближениях разностных схем// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2021. Т. 21, №4, С. 472–488 DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-4-472-488.
  27. Блинков Ю.А., Ребрина А.Ю.Исследования разностных схем для двумерных уравнений Навье- Стокса алгоритмами компьютерной алгебры// Программирование, 2023. №1, С. 32–37 DOI: 10.31857/S0132347423010028.
  28. Блинков Ю.А. Качественное исследование схем типа Кранка-Николсона с использованием первого дифференциального приближения на примере уравнения Котревега де Вриза// Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках, 2023. №4, С. 18 DOI: 10.24412/2541-9269-2023-4-12-28.
  29. Блинков Ю.А. Символьное и численное исследование разностных схем с использованием первого дифференциального приближения на примере уравнения Котревега де Вриза// Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках, 2024. №4, С. 13 DOI: 10.24412/2541-9269-2024-4-20-32.
  30. Блинков Ю.А., Гердт В. П. Специализированная система компьютерной алгебры GINV// Программирование, 2008. Т. 34, №2, С. 67–80.

Месянжин Артем Вячеславович – начальник лабораторного сектора, АО «Конструкторское бюро промышленной автоматики», г. Саратов, Россия, ORCID 0000-0002-7984-2168.

Читать статьюСкачать статью