Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022.Т. 40. №3. C. 42-52. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска

Read English Version US Flag

УДК 517.926

Научная статья

Нелокальная краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с производными Римана–Лиувилля

М. О. Мамчуев¹, Т. И. Жабелова²

¹Институт прикладной математики КБНЦ РАН, 360017, г. Нальчик, ул. Шортанова 89-А, Россия
²Научно-образовательный центр КБНЦ РАН, 360010, г. Нальчик, ул. Балкарова 2, Россия
E-mail: mamchuev@rambler.ru

В работе исследуется нелокальная краевая задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с постоянными коэффициентами на отрезке \left[0, l\right] . Дробная производная порядка \alpha \in \left(0,1\right] понимается в смысле Римана–Лиувилля. Краевые условия связывают след дробного интеграла от искомой вектор-функции на левом конце отрезка – в точке x=0 , со следом самой вектор функции на правом конце отрезка – в точке x = l . Цель настоящей работы – построение явного представления решения данной задачи в терминах функции Грина. Исследована структура решения краевой задачи, определена и построена соответствующая функция Грина, получено представление решения. Доказана теорема об однозначной разрешимости исследуемой краевой задачи.

Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений, производные дробного порядка, нелокальная краевая задача, функция Грина.

DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-42-52

Поступила в редакцию: 02.10.2022

В окончательном варианте: 17.10.2022

Для цитирования. Мамчуев М. О., Жабелова Т. И. Нелокальная краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с производными Римана–Лиувилля // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 40. № 3. C. 42-52.

DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-42-52

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Мамчуев М. О., Жабелова Т. И., 2022

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении авторства и публикации.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы внесли свой вклад в эту статью. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательный вариант рукописи был одобрен всеми авторами.

Список литературы

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  2. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus (Theory and applications of of differentiation and integration to arbitrary order). N.Y., London: Academic press, 1974. 233 с.
  3. Hilfer R. Applications of fractional calculus in physics. Singapore: World scientific, 2000
  4. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  5. Вебер В. К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространствах обобщенных функций / Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, Т. 18. Фрунзе, Илим, 1985, С. 306–312.
  6. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
  7. Розовский М. И. Интегральные операторы и задача о ползучести вращающегося вокруг своей оси пустотелого цилиндра, Науч. докл. высш. школы, физ.-мат. науки, 1958. №6, С. 147–150.
  8. Area I., Batarfi H., Losada J., Nieto J. J., Shammakh W., Torres A.On a fractional order Ebola epidemic model,Advances in Difference Equations, 2015. vol. 2015, no. 278, pp. 1–12 DOI: 10.1186/s13662-015-0613-5.
  9. Yildiz T. A. Optimal control problem of a non-integer order waterborne pathogen model in case of environmental stressors,Frontiers in Physics, 2015. vol. 7, no. 95, pp. 1–10 DOI: 10.3389/fphy.2019.00095.
  10. Вебер В. К. Структура общего решения системы y(α) = Ay, 0 < α ≤ 1, Тр. Кирг. ун-та. Сер. мат. наук., 1976. №11, С. 26–32.
  11. Иманалиев М. И., Вебер В. К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применении / Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, Т. 13. Фрунзе, Илим, 1980, С. 49–59.
  12. Вебер В. К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка / Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, Т. 16. Фрунзе, Илим, 1983, С. 119–125.
  13. Вебер В. К. К общей теории линейных систем с дробными производными / Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, Т. 18. Фрунзе, Илим, 1985, С. 301–305.
  14. Чикрий А. А., Матичин И. И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произвольного дробного порядка, Доклады Национальной академии наук Украины, 2007. №1, С. 53–55.
  15. Bonilla B., Rivero M., Trujillo J. J.On systems of linear fractional differential equations with constant coefficients, Applied Mathematics and Computation, 2007. vol. 187, no. 1, pp. 68–78 DOI: 10.1016/j.amc.2006.08.104.
  16. Chikriy A. A., Matichin I. I. Presentation of Solutions of Linear Systems with Fractional Derivatives in the Sense of Riemann-Liouville, Caputo, and Miller-Ross, Journal of Automation and Information Sciences, 2008. vol. 40, no. 6, pp. 1–11 DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v40.i6.10.
  17. Matichin I., Onyshchenko V. Optimal control of linear systems with fractional derivatives,Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018. vol. 21, no. 1, pp. 134–150 DOI: 10.1515/fca-2018-0009.
  18. Matichin I., Onyshchenko V. Matrix Mittag-Leffler function in fractional systems and its computation, Bulletin of the Polish academy of sciences Technical sciences, 2018. vol. 66, no. 4, pp. 495–500 DOI: 10.24425/124266.
  19. Mamchuev M. O. Cauchy problem for a linear system of ordinary differential equations of the fractional order, Mathematics, 2020. vol. 8, no. 9:1475, pp. 1–11 DOI:10.3390/math8091475.
  20. Kamocki R., Majewski M. Fractional linear control systems with Caputo derivative and their optimization, Optimal Control Applications and Methods, 2015. vol. 36, no. 6, pp.  953–967 DOI: 10.1002/oca.2150.
  21. Buedo-Fern´andez S., Nieto J. J. Basic control theory for linear fractional differential equations with constant coefficients,Frontiers in Physics, 2020. Т. 8, №377, С. 1–6 doi: 10.3389/fphy.2020.00377.
  22. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. Москва: Наука, 1966. 672 с.

Мамчуев Мурат Османович – доктор физико-математических наук, заведующий отделом Дробного исчисления Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия, ORCID 0000-0002-7986-456X.

Жабелова Танзиля Исмаиловна – аспирант Научно-образовательного центра КБНЦ РАН, Нальчик, Россия, ORCID 0000-0001-8447-071X.

Читать статьюСкачать статью