Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 50. №1. C. 39 — 61. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-39-61
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version

Посвящается памяти профессора А.К. Уринова

Об одной краевой задаче со смещением для параболо-гиперболического уравнения с двумя
перпендикулярными линиями изменения типа

И.У. Хайдаров^{1,\ast}, Р.Т. Зуннунов^{2,3,4}

^{1}Ферганский государственный университет, 150100, Фергана, улица Мураббийлар, 19, Узбекистан
^2Филиал Российского государственного университета нефти и газа (НИУ) имени И. М. Губкина в г. Ташкенте, 100125, г. Ташкент, улица Дурмон йули, 34, Узбекистан
^3Институт математики имени В.И. Романовского АН РУЗ., 100125, г. Ташкент, улица Университет, 9, Узбекистан
^4Международный Университет Нордика, 100043, г. Ташкент, улица Бунедкор, 8/2, Узбекистан

Аннотация. В статье рассматривается краевая задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения, содержащее спектральный параметр и характеризующееся наличием двух взаимно перпендикулярных линий изменения типа. Область, в которой исследуется уравнение, состоит из подобластей, в каждой из которых уравнение изменяет тип — параболический в одних частях и гиперболический в других, что делает задачу особенно интересной и сложной в аналитическом плане. Кроме того, учтено наличие разрыва в коэффициентах уравнения, что обуславливает применение специального подхода при формулировке условий склеивания на границах областей различных типов. Целью работы является постановка и обоснование корректности (существования и единственности решения) краевой задачи со смещением в сложной геометрической области при произвольном вещественном значении спектрального параметра \lambda. При исследованияи поставленной задачи авторы используют метод интегральных преобразований и теории операторов, включая интегральные и интегро-дифференциальные операторы типа A^{n,λ}_{mx}, B^{n,λ}_{mx}, C^{n,λ}_{mx},свойства которых играют ключевую роль в анализе задачи. Показано, что исходную задачу можно свести к эквивалентной системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывными ядрами, разрешимость которых устанавливается с помощью теоремы, альтернативы Фредгольма. Доказывается, что решение задачи можно представить в виде явных интегральных формул с использованием функций Бесселя и специальных ядер, описывающих поведение решения в различных частях области. При этом существенную роль играют условия согласования, обеспечивающие корректное склеивание решений в линиях изменения типа уравнения и по линии разрыва коэффициентов.

Ключевые слова: уравнение параболо-гиперболического типа; краевая задача со смещением; линии изменения типа; спектральный параметр; интегральные уравнения Фредгольма; нелокальные условия; функции Бесселя-Клиффорда; корректность задачи; интегральные и интегро-дифференциальные операторы.

Получение: 31.03.2025; Исправление: 14.04.2025; Принятие: 17.04.2025; Публикация онлайн: 18.04.2025

Для цитирования. Хайдаров И.У., Зуннунов Р.Т. Об одной краевой задаче со смещением для параболо-гиперболического уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 50. № 1. C. 39-61. EDN: RFEXMO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-39-61.

Финансирование. Второй автор поддержан грантом Министерства высшего образования, науки и инноваций Республики Узбекистан № Ф-ФА-2021-424.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: ibrohim0902@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Хайдаров И.У., Зуннунов Р.Т., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. -М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
2. Бицадзе А. В., Самарский А. А.О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. -Москва, 1969. Т. 185, №4,6, С. 739–740.
3. Абрегов М. Х. Некоторые задачи типа задачи Бицадзе — Самарского для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения, 1974. Т. 10, №1, С. 3–6.
4. Алимов Ш. А. Об одной спектральной задаче типа задачи Бицадзе-Самарского //ДАН СССР. — Москва, 1986. Т. 287, №6, С. 1289–1290.
5. Андреев А. А., Рябов А. В. Некоторые краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для обобщенного уравнения Трикоми в неограниченных областях /Дифференциальные уравнения и их приложения, Межвузовский сборник трудов по физико — математическим наукам, Т. 2. Куйбышев, 1975, С. 9–15.
6. Нахушев А. М. О некоторых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. -Минск, 1969. Т. 5, №1, С. 44–59.
7. Нахушев А. М. Методика постановки корректных задач для линейных гиперболических уравнений на плоскости // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, №1, С. 191–195.
8. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. -М.: Наука, 2006. 287 с.
9. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. -М.: Физматгиз, 2003. 272 с.
10. Нахушев А. М. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. -М.: Наука, 2006. 174 с.
11. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. — Ташкент: Фан, 1997. 166 с.
12. Кузнецов В. С. Специальные функции. -М.: Высшая школа, 1965. 424 с.
13. Зуннунов Р.Т. Задачи со смещением на характеристиках одного семейства для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2010. Т. 12, №1, С. 15–24.
14. Зуннунов Р.Т. Об одной краевой задаче со смещением для обобщенного уравнения Трикоми со спектральным параметром в неограниченной области // Бюллетень Института математики, 2023. №5, С. 80–88.
15. Зуннунов Р. Т., Толибжонов Ж.А. Краевая задача со смещением для модельного уравнения смешанного типа в неограниченной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 30, №1, С. 31–41, DOI 10.26117/2079-6641-2020-30-1-31-41.
16. Зуннунов Р.Т., Хайдаров И.У. Краевая задача со смещением для обобщенного уравнения Трикоми со спектральным параметром в неограниченной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 32, №3, С. 55–64, DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-55-64 .
17. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного параболо-гиперболического уравнения // Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1984. №3, С. 29–34.
18. Каримов Ш.Т. Нелокальная задача с нормальной производной для общего уравнения
    Лаврентьева-Бицадзе в двусвязной области // Узбекский математический журнал. 1993. №3, С. 59–63.
19. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с
    негладкими линиями вырождения // Доклады АН СССР. — М., 1982. Т. 262, №3, С. 539–541.
20. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для одного класса уравнений смешанного типа с негладкими линиями вырождения / Неклассические задачи математической физики. Фан, 1985, С. 25-47.
21. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Об одной задаче типа задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения / Дифференциальные уравнения в частных производных и их применения, Труды Всесоюзного симпозиума 21-23 апреля 1982 г. Тбилиси, Тбилиского университета, 1982, С. 211–216.
22. Салахитдинов М. С., Кадыров З. Задачи с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, №1, С. 103–114.
23. Эгамбердиев У. О некоторых краевых задачах для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа / Краевые задачи механики сплошных сред. Фан, 1982, С. 117-128.
24. Джураев Т. Д., Абдуллаев А. С. Об одной краевой задаче для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа /Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Ташкент, Фан, 1986, С. 60-77.
25. Джураев Т. Д., Абдуллаев А. С. Об одной краевой задаче со смещением для параболо гиперболического уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа / Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. -Ташкент, Фан, 1988, С. 16-24.
26. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. 736 с.
27. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. -Ташкент: Фан, 1986. 220 с.
28. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматгиз, 1959. 232 с.
29. Зайнулабидов М.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя пересекающимися линиями вырождения //Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, №1, С. 99–108.
30. Оромов Ж.О краевых задачах типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, №1, С. 94–101.
31. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с
    негладкими линиями вырождения // Доклады АН УзССР. 1983. №1, С. 3–4.
32. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи в двусвязной области для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения / Современные проблемы математической физики, Труды Всесоюзного симпозиума 22-25 апреля 1987 г.. Тбилиси, Тбилиского университета, 1987, С. 349–356.
33. Салахитдинов М. С., Уринов А. К.Нелокальная краевая задача в двусвязной области для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Доклады АН СССР. 1988. Т. 229, №1, С. 63–66.

---

Информация об авторах

---

---