Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 50. №1. C. 22 — 39. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-22-38
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.956.6

Содержание выпуска

Read English Version

Об одной краевой задаче с граничными условиями третьего рода для уравнения смешанного типа третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором в главной части

Б. И. Исломов^{\ast}, Г. К. Кылышбаева

Национальный Университет Узбекистана имени М. Улугбека, г. Ташкент, 100174, ул. Университетская 4, Республика Узбекистан

Аннотация. В этой статье предлагается метод решения задачи с граничным условием третьего рода для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа с суперпозицией операторов первого и второго порядка в прямоугольной области. Показано, что корректность постановки задачи существенным образом зависит от отношения сторон прямоугольника из гиперболической части смешанной области. Приведен пример, в котором поставленная задача с однородными условиями имеет нетривиальное решение. Построено решение задачи в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. Установлен критерий единственности решения. При обосновании равномерной сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей. В связи, с чем установлены оценки малых знаменателей об отдаленности от нуля с соответствующей асимптотикой. Эти оценки позволили доказать сходимость ряда в классе регулярных решений данного уравнения. Доказаны оценки об устойчивости решения от заданных граничных функций.

Ключевые слова: уравнение третьего порядка, условия второго рода, спектральный метод, малые знаменатели, единственность, существование, устойчивость.

Получение: 20.01.2025; Исправление: 21.03.2025; Принятие: 23.03.2025; Публикация онлайн: 24.03.2025

Для цитирования. Исломов Б. И., Кылышбаева Г. К. Об одной краевой задаче с граничными условиями третьего рода для уравнения смешанного типа третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором в главной части // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 50. № 1. C. 22-39. EDN: XRZCCH. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-22-38.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: islomovbozor@yandex.com , kalbaevna85@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Исломов Б. И., Кылышбаева Г. К., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Бицадзе А. В., Салахитдинов М. С.К теории уравнений смешанно-составного типа // Сибирский математический журнал, 1961, С. 7-19.
  2. Михайлов В. П. О первой краевой задаче для одного класса гипоэллиптических уравнений //Мат. сборник, 1964. Т. 63, №105, С. 238-264.
  3. Салахитдинов М. С. Уравнение смешанно-составного типа. Узбекистан. Ташкент: Фан, 1974. 156 с.
  4. Хачев М. М. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лаврентьев-Бицадзе в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения, 1978. Т. 14, №1, С. 136-139.
  5. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа. Узбекистан. Ташкент: Фан, 1979. 240 с.
  6. Кожанов А. И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего
    порядка // Матем. Сборник, 1982. Т. 118(160), №4(8), С. 504-522.
  7. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений параболо- гиперболического типа. Узбекистан. Ташкент: Фан, 1986. 240 с.
  8. Кожанов А. И.О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Дифференциальные уравнения, 1994. Т. 35, №2, С. 359–376.
  9. Моисеев Е. И.О решении спектральным методом одной нелокальной задачи //Дифференциальные уравнения, 1999. Т. 38, №8, С. 1094–1100.
  10. Джохадзе О. М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка // Мат. заметки, 2003. Т. 74, №4, С. 517–528.
  11. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Доклады РАН, 2007. Т. 413, №1, С. 23–26.
  12. Zikirov O. S.A nonlocal boundary value problem for third order linear partial differential equation of composite type // Math. Model. and Anal., 2009. vol. 14, no. 3, pp. 407–421.
  13. Chen S.X. Mixed type equations in gas dynamics // Quart.Appl. Math, 2010. vol. LVXIII, no. 3, pp. 487–511.
  14. Сабитов К. Б., Сафин Э. М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2010. №4, С. 55–62.
  15. Удалова Г.Ю. Обратная задача для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Вестник СамГУ, 2010. Т. 78, №4, С. 23–26.
  16. Елеев В. А., Кумыкова С. К. Внутренне краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2010. Т. 5, №37, С. 5–14.
  17. Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнений смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области // Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47, №5, С. 705–713.
  18. Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа // Изв. Вузов. Математика, 2011. №2, С. 71–85.
  19. Islomov B. I, Baltaeva U. I. Boundary value problems for a third-order loaded parabolic hyperbolic equation with variable coefficients // Electron. J. Diff. Equ., 2015. no. 221, pp. 1–10.
  20. Salakhitdinov M. S., Karimov E. T. Uniqueness of inverse source non-local problem for fractional order mixed type equation // Euroasian Mathematical Journal, 2016. no. 1, pp. 74–83.
  21. Islomov B. I, Usmonov B. Nonlocal boundary value problem for a third-order equation of elliptichyperbolic type //Labachevskii Journal of Mathematics, 2020. vol. 41, no. 1, pp. 32–38.
  22. Yuldashev T. K., Islomov B. I., Alikulov E. K. Boundary value problems for a loaded parabolichyperbolic equatons in infinite three dimensional domains third order // Lobachevckii Journal of Mathematics, 2020. vol. 41, no. 5, pp. 926–944.
  23. Islomov B. I., Убайдуллаев У.Ш.Обратная задача для уравнения смешанного типа с оператором дробного порядка в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2021. №3, С. 29–46.
  24. Yuldashev T. K., Islomov B. I., Ubaydullaev U. Sh.ValueProblems for a Mixed Type Fractional Differential Equation with Caputo Operator // Bulletin of the Karaganda University. Mathematics series, 2021. Т. 101, №1, С. 127–137.
  25. Islomov B. I., Kilishbaeva G. K. Boundary value problems for third-order mixed equations in the rectangular domain // Science and Education in Karakalpakstan, 2022. Т. 1/2, №24, С. 32–41.
  26. Абдуллаев О. Х., Юлдашев Т. К. Обратные задачи для нагруженного параболо-гиперболического уравнения с участием оператора Римана–Лиувилля // Лобачевский мат. журнал, 2023. Т. 44, №3, С. 1080–1090.
  27. Islomov B., Usmonov B. Nonlocal Boundary Value Problems for a Third Order Equation of Elliptic- Hyperbolic Type // AIP Conference Proceedings, 2024. Т. 3004, №040016-1-040016-10.

Информация об авторах

Исломов Бозор Исломович – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры «Дифференциальных уравнений и математической физики» Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Узбекистан, ORCID 0000-0002-3060-3019.

Кылышбаева Гулназ Калбаевна – аспирант кафедры «Дифференциальных уравнений и математической физики» Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Узбекистан, ORCID 0009-0005-9225-2508.

Читать статьюСкачать статью