Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 46. №1. C. 118-133. ISSN 2079-6641

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-118-133

Научная статья

Полный текст на английском языке

УДК 519.65

Содержание выпуска

Read English Version

Построение базисных функции в методе конечных элементов в гильбертовом пространстве

А. Р. Хайотов ^{\ast \bf{123}}  Н. Н. Донийоров ^{\ast \bf{145}} 

^1Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, 100170, г. Ташкент, ул. Мирзо Улугбека 85, Республика Узбекистан

^2Ташкентский государственный университет путей сообщения, ул. Темирелчилар, г. Ташкент, 100167, Узбекистан

^3Центрально-Азиатский университет, ул. Миллий бог, 264, г. Ташкент, 111221, Республика Узбекистан

^4Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, ул. Университетская, 4., г. Ташкент, 100174, Республика Узбекистан

^5Бухарский государственный университет, ул. Мухаммада Икбола, 11, г. Бухара, 200114, Республика Узбекистан

Аннотация. Настоящая работа посвящена построению оптимальной интерполяционной формулы, точной для тригонометрических функций sin(ωx) и cos(ωx). Здесь аналитические представления коэффициентов оптимальной интерполяционной формулы в некотором гильбертовом пространстве получены с использованием дискретного аналога дифференциального оператора. Принимая в качестве базисных функций коэффициенты оптимальной интерполяционной формулы, в методах конечных элементов приближенно решаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В частности, показано, что коэффициенты оптимальной интерполяционной формулы могут служить набором эффективных базисных функций. Приближенные решения дифференциальных уравнений сравниваются с использованием построенных
базисных функций и известных базисных функций. В частности, мы получили численные результаты для случаев, когда количество базисных функций равно 6 и 11. В обоих случаях мы получили, что точность приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, найденного с помощью наших базисных функций, выше точности приближенного решения, найденного с использованием известных базисных функций. Доказано, что точность приближенного решения возрастает с увеличением числа базисных функций.

Ключевые слова: базисные функции, обыкновенное дифференциальное уравнение, краевая задача, конечный элемент, интерполяция.

Получение: 03.01.2024; Исправление: 25.02.2024; Принятие: 29.02.2024; Публикация онлайн: 07.03.2024

Для цитирования. Hayotov A. R., Doniyorov N. N. Construction of basis functions for finite element methods in a Hilbert space // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 46. № 1. C. 118-133. EDN: EUIRSM. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-118-133.

Финансирование. Работа не выполнялась в рамках фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: hayotov@mail.ru, doniyorovnn@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Hayotov A. R., Doniyorov N. N., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Turner M. J., Clough R. W., Martin N. S., Topp L. J. Sliffness and Deflection Analysis of Complex Structures,Aeronaut. Sci., 1956. vol. 23, pp. 805—824.
  2. Melosh R. J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method,Am. Inst. for Aeronautics and Astronautics. J., 1965, pp. 1631—1637.
  3. Szabo B. A., Lee G. C. Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin’s Method, Intern. J. of Numerical Methods in Engineering, 1969. no. 1, pp. 301-310.
  4. Zienkiewicz O. C. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method. London: McGraw-Hill, 1971. 521 pp.
  5. Mitchell E., Waite R. Finite element method for partial differential equation. Moscow: Mir, 1981. 216 pp. (In Russian)
  6. Segerlind L. Application of the finite element method. Moscow: Mir, 1979. 392 pp. (In Russian)
  7. Dautov R. Z., Karchevsky M. M. Introduction to the theory of the finite element method. Kazan: Kazan Federal University, 2011. 239 pp. (In Russian)
  8. Khayotov A. R. Discrete analogues of some differential operators, Uzbek mathematical journal, 2012. no. 1, pp. 151-155 (In Russian).
  9. Zhilin Li, Zhonghua Qiao, Tao Tang. Numerical Solution of Differential Equations. United Kingdom: Cambridge University Press, 2018. 293 pp.
  10. Burden R. L, Douglas F. J. Numerical Analysis. United States of America: Cengage Learning, 2016. 900 pp.
  11. Hayotov A. R., Milovanovic G. V., Shadimetov Kh. M. Optimal quadratures in the sense of Sard in a Hilbert space, Applied Mathematics and Computation, 2015. no. 259, pp. 637-653.
  12. Sobolev S. L.On Interpolation of Functions of n Variables, Selected works of S.L. Sobolev, Mathematical Physics, Computational Mathematics, and Cubature Formulas, 2006. vol. 1, pp. 451-456.
  13. Babaev S. S., Hayotov A. R. Optimal interpolation formulas in W^{(m,m−1)}_2 space, Calcolo, 2019. vol. 56, no. 23, pp. 1-25.
  14. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A. Construction of optimal interpolation formulas in the Sobolev space, Journal of Mathematical Sciences, 2022. vol. 264, no. 6, pp. 768-781.
  15. Boltaev A. K.On the optimal interpolation formula on classes of differentiable functions, Problems of Computational and Applied Mathematics, 2021. no. 4(34), pp. 96-105.
  16. Shadimetov Kh. M., Boltaev A.K., Parovik R. I. Construction of optimal interpolation formula exact for trigonometric functions by Sobolev’s method, Vestnik KRAUNC. Fiz-Mat. nauki., 2022. vol. 38, no. 1, pp. 131-146.
  17. Yong-Wei W., Guo-Zhao W. An orthogonal basis for non-uniform algebraic-trigonometric spline space., Applied Mathematics Journal of Chinese University, 2014. vol. 29, no. 3, pp. 273-282.
  18. Majed A. et al. Geometric Modeling Using New Cubic Trigonometric B-Spline Functions with Shape Parametr, Mathematics, 2020. vol. 2102, no. 8, pp. 1-25.
  19. Lanlan Yan Cubic Trigonometric Nonuniform Spline Curves and Surfaces, Mathematical Problems in Engineering, 2016. vol. Article ID 7067408., pp. 9.
  20. Duan Xiao-Juan, Wang Guo-Zhao.NUAT T-splines of odd bi-degree and local refinement., Applied Mathematics Journal of Chinese University, 2014. vol. 29, no. 4, pp. 410-421.
  21. Emre KirliA novel B-spline collocation method for Hyperbolic Telegraph equation., AIMS Mathematics, 2023. vol. 8, no. 5, pp. 11015-11036.
  22. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R. Optimal approximation of error functionals of quadrature and interpolation formulas in spaces of differentiable functions. Tashkent: Muhr press, 2022. 246 pp. (In Russian)
  23. Hayotov A. R. Construction of interpolation splines minimizing the semi-norm in the space K_2(P_m), Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics, 2018. no. 11, pp. 383–396.
  24. Babaev S.On an optimal interpolation formula in K_2(P_m) space, Uzbek Mathematical Journal, 2019. no. 1, pp. 27-41.
  25. Babaev S., Davronov J., Abdullaev A., and Polvonov S. Optimal interpolation formulas exact for trigonometric functions., AIP Conference Proceedings, 2023. no. 2781.
  26. Sobolev S. L. Introduction to the theory of cubature formulas. Nauka: Moscow, 1974.. 805 pp. (In Russian)
  27. Hayotov A., Doniyorov N. Basis functions for finite element methods., Bull. Inst. Math., 2023. vol. 6, no. 5, pp. 31-44.

Информация об авторах

Хайотов Абдулло Рахмонович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией вычислительной математики, Институт математики имени В. И. Романовского, Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Республика Узбекистан, ORCID 0000-0002-2756-9542.


Донийоров Негмурод Нормуродович – докторант, лаборатория вычислительной матемаики, Институт математики имени В.И. Романовского, Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Республика Узбекистан Tashkent, ORCID 0009-0001-3889-1641.