Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 46. №1. C. 118-133. ISSN 2079-6641
ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-118-133
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 519.65
Построение базисных функции в методе конечных элементов в гильбертовом пространстве
А. Р. Хайотов ^{\ast \bf{123}} Н. Н. Донийоров ^{\ast \bf{145}}
^1Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, 100170, г. Ташкент, ул. Мирзо Улугбека 85, Республика Узбекистан
^2Ташкентский государственный университет путей сообщения, ул. Темирелчилар, г. Ташкент, 100167, Узбекистан
^3Центрально-Азиатский университет, ул. Миллий бог, 264, г. Ташкент, 111221, Республика Узбекистан
^4Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, ул. Университетская, 4., г. Ташкент, 100174, Республика Узбекистан
^5Бухарский государственный университет, ул. Мухаммада Икбола, 11, г. Бухара, 200114, Республика Узбекистан
Аннотация. Настоящая работа посвящена построению оптимальной интерполяционной формулы, точной для тригонометрических функций sin(ωx) и cos(ωx). Здесь аналитические представления коэффициентов оптимальной интерполяционной формулы в некотором гильбертовом пространстве получены с использованием дискретного аналога дифференциального оператора. Принимая в качестве базисных функций коэффициенты оптимальной интерполяционной формулы, в методах конечных элементов приближенно решаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В частности, показано, что коэффициенты оптимальной интерполяционной формулы могут служить набором эффективных базисных функций. Приближенные решения дифференциальных уравнений сравниваются с использованием построенных
базисных функций и известных базисных функций. В частности, мы получили численные результаты для случаев, когда количество базисных функций равно 6 и 11. В обоих случаях мы получили, что точность приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, найденного с помощью наших базисных функций, выше точности приближенного решения, найденного с использованием известных базисных функций. Доказано, что точность приближенного решения возрастает с увеличением числа базисных функций.
Ключевые слова: базисные функции, обыкновенное дифференциальное уравнение, краевая задача, конечный элемент, интерполяция.
Получение: 03.01.2024; Исправление: 25.02.2024; Принятие: 29.02.2024; Публикация онлайн: 07.03.2024
Для цитирования. Hayotov A. R., Doniyorov N. N. Construction of basis functions for finite element methods in a Hilbert space // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 46. № 1. C. 118-133. EDN: EUIRSM. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-118-133.
Финансирование. Работа не выполнялась в рамках фондов.
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.
^\astКорреспонденция: E-mail: hayotov@mail.ru, doniyorovnn@mail.ru
Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License
© Hayotov A. R., Doniyorov N. N., 2024
© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)
Список литературы
- Turner M. J., Clough R. W., Martin N. S., Topp L. J. Sliffness and Deflection Analysis of Complex Structures,Aeronaut. Sci., 1956. vol. 23, pp. 805—824.
- Melosh R. J. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method,Am. Inst. for Aeronautics and Astronautics. J., 1965, pp. 1631—1637.
- Szabo B. A., Lee G. C. Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin’s Method, Intern. J. of Numerical Methods in Engineering, 1969. no. 1, pp. 301-310.
- Zienkiewicz O. C. Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method. London: McGraw-Hill, 1971. 521 pp.
- Mitchell E., Waite R. Finite element method for partial differential equation. Moscow: Mir, 1981. 216 pp. (In Russian)
- Segerlind L. Application of the finite element method. Moscow: Mir, 1979. 392 pp. (In Russian)
- Dautov R. Z., Karchevsky M. M. Introduction to the theory of the finite element method. Kazan: Kazan Federal University, 2011. 239 pp. (In Russian)
- Khayotov A. R. Discrete analogues of some differential operators, Uzbek mathematical journal, 2012. no. 1, pp. 151-155 (In Russian).
- Zhilin Li, Zhonghua Qiao, Tao Tang. Numerical Solution of Differential Equations. United Kingdom: Cambridge University Press, 2018. 293 pp.
- Burden R. L, Douglas F. J. Numerical Analysis. United States of America: Cengage Learning, 2016. 900 pp.
- Hayotov A. R., Milovanovic G. V., Shadimetov Kh. M. Optimal quadratures in the sense of Sard in a Hilbert space, Applied Mathematics and Computation, 2015. no. 259, pp. 637-653.
- Sobolev S. L.On Interpolation of Functions of n Variables, Selected works of S.L. Sobolev, Mathematical Physics, Computational Mathematics, and Cubature Formulas, 2006. vol. 1, pp. 451-456.
- Babaev S. S., Hayotov A. R. Optimal interpolation formulas in W^{(m,m−1)}_2 space, Calcolo, 2019. vol. 56, no. 23, pp. 1-25.
- Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A. Construction of optimal interpolation formulas in the Sobolev space, Journal of Mathematical Sciences, 2022. vol. 264, no. 6, pp. 768-781.
- Boltaev A. K.On the optimal interpolation formula on classes of differentiable functions, Problems of Computational and Applied Mathematics, 2021. no. 4(34), pp. 96-105.
- Shadimetov Kh. M., Boltaev A.K., Parovik R. I. Construction of optimal interpolation formula exact for trigonometric functions by Sobolev’s method, Vestnik KRAUNC. Fiz-Mat. nauki., 2022. vol. 38, no. 1, pp. 131-146.
- Yong-Wei W., Guo-Zhao W. An orthogonal basis for non-uniform algebraic-trigonometric spline space., Applied Mathematics Journal of Chinese University, 2014. vol. 29, no. 3, pp. 273-282.
- Majed A. et al. Geometric Modeling Using New Cubic Trigonometric B-Spline Functions with Shape Parametr, Mathematics, 2020. vol. 2102, no. 8, pp. 1-25.
- Lanlan Yan Cubic Trigonometric Nonuniform Spline Curves and Surfaces, Mathematical Problems in Engineering, 2016. vol. Article ID 7067408., pp. 9.
- Duan Xiao-Juan, Wang Guo-Zhao.NUAT T-splines of odd bi-degree and local refinement., Applied Mathematics Journal of Chinese University, 2014. vol. 29, no. 4, pp. 410-421.
- Emre KirliA novel B-spline collocation method for Hyperbolic Telegraph equation., AIMS Mathematics, 2023. vol. 8, no. 5, pp. 11015-11036.
- Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R. Optimal approximation of error functionals of quadrature and interpolation formulas in spaces of differentiable functions. Tashkent: Muhr press, 2022. 246 pp. (In Russian)
- Hayotov A. R. Construction of interpolation splines minimizing the semi-norm in the space K_2(P_m), Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics, 2018. no. 11, pp. 383–396.
- Babaev S.On an optimal interpolation formula in K_2(P_m) space, Uzbek Mathematical Journal, 2019. no. 1, pp. 27-41.
- Babaev S., Davronov J., Abdullaev A., and Polvonov S. Optimal interpolation formulas exact for trigonometric functions., AIP Conference Proceedings, 2023. no. 2781.
- Sobolev S. L. Introduction to the theory of cubature formulas. Nauka: Moscow, 1974.. 805 pp. (In Russian)
- Hayotov A., Doniyorov N. Basis functions for finite element methods., Bull. Inst. Math., 2023. vol. 6, no. 5, pp. 31-44.
Информация об авторах
Хайотов Абдулло Рахмонович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией вычислительной математики, Институт математики имени В. И. Романовского, Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Республика Узбекистан, ORCID 0000-0002-2756-9542.
Донийоров Негмурод Нормуродович – докторант, лаборатория вычислительной матемаики, Институт математики имени В.И. Романовского, Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Республика Узбекистан Tashkent, ORCID 0009-0001-3889-1641.