Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 52. №3. C. 63 — 74. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-63-74
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.96

Содержание выпуска

Read English Version

Интегральное уравнение дробного порядка с инволюцией

Л. М. Энеева^{\ast}

Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Кабардино-Балкарского
научного центра РАН, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, д. 89 А, Россия

Аннотация. В работе рассматривается линейное интегральное уравнение, содержащее оператор дробного интегрирования в смысле Римана–Лиувилля и оператор инволюции. Рассматриваемое уравнение относится к классу функционально-интегральных уравнений, которые возникают при исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка, содержащих композицию лево- и правосторонних производных дробного порядка. Такие уравнения, в свою очередь, выступают основой эффективного аналитического аппарата при описании диссипативных колебательных систем, и, в частности, имеет важное значение при решении задач математического моделирования различных физических и геофизических процессов. В данной работе вопрос о разрешимости исследуемого функционально-интегрального уравнения редуцируется к вопросу о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода с операторами дробного интегрирования. Для достижения этого проводится анализ одного функционального уравнения специального вида, находится формула его обращения. Основные результаты работы сформулированы в форме теоремы, указывающей достаточные условия на входные параметры задачи, обеспечивающие однозначную разрешимость рассматриваемого уравнения.

Ключевые слова: интегральное уравнение дробного порядка, интеграл Римана–Лиувилля,
инволюция.

Получение: 06.11.2025; Исправление: 07.11.2025; Принятие: 09.11.2025; Публикация онлайн: 11.11.2025

Для цитирования. Энеева Л. М. Интегральное уравнение дробного порядка с инволюцией //
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 52. № 3. C. 63-74. EDN: EOPADJ. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-63-74.

Финансирование. Работа выполнена в рамках государственного задания ИПМА КБНЦ РАН (№ 125031904215-5).

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: eneeva72@list.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Энеева Л. М., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
2. Энеева Л. М.К вопросу о решении смешанной краевой задачи для уравнения с производными дробного порядка с различными началами // Доклады АМАН,2023. Т. 23, №4, С. 62–68 DOI: 10.47928/1726-9946-2023-23-4-62-68.
3. Рехвиашвили С.Ш.Формализм Лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ,2004. Т. 30, №2, С. 33–37.
4. Рехвиашвили С.Ш. К определению физического смысла дробного интегро-дифференцирования // Нелинейный мир, 2007. Т. 5, №4, С. 194–197.
5. Stankovi´c B. An equation with left and right fractional derivatives // Publications de l’institut math´ematique. Nouvelle s´erie,, 2006. Т. 80(94), С. 259–272.
6. Atanackovic T. M., Stankovic B.On a differential equation with left and right fractional derivatives // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2007. Т. 10, №2, С. 139–150.
7. Zayernouri M., Karniadakis G.E. Fractional Sturm–Liouville eigen-problems: Theory and numerical
   approximation // Journal of Computational Physics, 2013. №252, С. 495–517.
8. Klimek M., Agrawal O.P. Fractional Sturm–Liouville problem // Computers and Mathematics with Applications, 2013. №66, С. 795–812.
9. Torres C. Existence of a solution for the fractional forced pendulum // Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics, 2014. Т. 13, №1, С. 125–142.
10. Энеева Л. М. Краевая задача для дифференциального уравнения с производными дробного
    порядка с различными началами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 3, №2(11), С. 39–
    44.
11. Tokmagambetov N., Torebek B. T. Fractional Analogue of Sturm-Liouville Operator // Documenta Mathematica, 2016. Т. 21, С. 1503–1514.
12. Eneeva L. M., Pskhu A. V., Potapov A. A., Feng T., Rekhviashvili S. Sh. Lyapunov inequality for a fractional differential equation modelling damped vibrations of thin film MEMS // Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19100).
13. Rekhviashvili S. Sh., Pskhu A. V., Potapov A. A., Feng T., Eneeva L. M.Modeling damped vibrations of thin film MEMS // Advances in Intelligent Systems and Computing. ICCD2019 (paper ID: E19101).
14. Eneeva L., Pskhu A., Rekhviashvili S. Ordinary Differential Equation with Left and Right Fractional Derivatives and Modeling of Oscillatory Systems // Mathematics, 2020. Т. 8(12), С. 2122 DOI: 10.3390/math8122122.
15. Энеева Л. М. Задача Коши для уравнения дробного порядка с инволюцией // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2024. Т. 48, №3, С. 43–55 DOI: 10.26117/2079-6641-2024-48-3-43-55.
16. Энеева Л. М. Начальная задача для уравнения дробного порядка с производной Герасимова–Капуто с инволюцией // Известия КБНЦ РАН, 2024. №6(26), С. 19–25 DOI: 10.35330/1991-6639-2024-26-6-19-25.
17. Богачев В. И. Основы теории меры, Т. 1. Москва–Ижевск: НИЦ РХД, 2003. 544 с.

---

Информация об авторах

---