Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 42. №1. C. 69-79. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА         
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-69-79
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.977.5

Содержание выпуска

Read English Version 

Задача управления процессом нагрева тонкой пластины

Ф. Н. Дехонов^*

Наманганский государственный университет, Узбекистан, 160136, г. Наманган, ул. Б. Машраб, 1А.

Аннотация. Ранее была рассмотрена математическая модель следующей задачи. На части границы правого прямоугольника расположен нагреватель с регулируемой температурой. Требуется найти такой режим его работы, чтобы средняя температура в каком-либо районе достигала некоторого заданного значения. В данной работе рассматривается задача граничного управления, связанная с параболическим уравнением на правом прямоугольнике. На части границы рассматриваемой области указано значение решения с управляющим параметром. Ограничения на управление задаются таким образом, чтобы среднее значение решения в некоторой части рассматриваемой области принимало заданное значение. Вспомогательная задача решается методом разделения переменных, а рассматриваемая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра. Кроме того, в статье дается определение обобщенного решения данной начально-краевой задачи и доказывается существование такого решения. Методом преобразования Лапласа найдено решение интегрального уравнения Вольтерра и доказана теорема существования допустимых управляющих функций. Также показано, что начальное значение допустимой функции управления равно нулю с помощью замены переменной в интегральном уравнении. Доказательство этого исходит из того, что ядра интегральных уравнений положительны и конечны, а система имеет однозначное решение.

Ключевые слова: параболическое уравнение, система интегральных уравнений, начально-краевая задача, допустимое управление, преобразование Лапласа.

Получение: 13.03.2023; Исправление: 20.03.2023; Принятие: 21.03.2023; Публикация онлайн: 22.03.2023

Для цитирования. Dekhkonov F. N. Задача управления процессом нагрева тонкой пластины // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. № 1. C. 69-79. EDN: DJZRAU. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-69-79.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^* Корреспонденция: E-mail: f.n.dehqonov@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Dekhkonov F. N., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Albeverio S., Alimov Sh. A.On a time-optimal control problem associated with the heat exchange process, Applied Mathematics and Optimization, 2008, vol. 47, no. 1, pp. 58–68.
  2. Alimov Sh. A.On a control problem associated with the heat transfer process, Eurasian Mathematical Journal, 2010. no. 1, pp. 17–30.
  3. Alimov Sh. A., Dekhkonov F. N.On a control problem associated with fast heating of a thin rod, Bulletin of National University of Uzbekistan: Mathematics and Natural Sciences, 2019. vol. 2, no. 1, pp. 1–14.
  4. Alimov Sh. A., Dekhkonov F. N.On the time-optimal control of the heat exchange process, Uzbek Mathematical Journal, 2019. no. 2, pp. 4–17.
  5. Altmüller A., Grüne L. Distributed and boundary model predictive control for the heat equation, Technical report,. University of Bayreuth, Department of Mathematics, 2012.
  6. Chen N., Wang Y., Yang D. Time–varying bang–bang property of time optimal controls for heat equation and its applications, Syst. Control Lett, 2018. vol. 112, pp. 18–23.
  7. Egorov Yu. V. Optimal control in Banach spaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1963. vol. 150, pp. 241–244 (In Russian).
  8. Fattorini H. O. Time-optimal control of solutions of operational differential equations, SIAM J. Control, 1964. vol. 2, pp. 49–65.
  9. Fattorini H. O. Time and norm optimal controls: a survey of recent results and open problems,Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed., 2011. vol. 31, pp. 2203–2218.
  10. Friedman A. Optimal control for parabolic equations, J. Math. Anal. Appl., 1967. vol. 18, pp. 479–491.
  11. Dekhkonov F. N.On a time-optimal control of thermal processes in a boundary value problem,Lobachevskii journal of mathematics, 2022. vol. 43, no. 1, pp. 192–198.
  12. Dekhkonov F. N.On time-optimal control problem associated with parabolic equation, Bulletin of National University of Uzbekistan, 2021. vol. 4, no. 1, pp. 54–63.
  13. Dekhkonov F. N.On the control problem associated with the heating process in the bounded domain, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2022. vol. 39, no. 2, pp. 20–31.
  14. Fayazova Z. K. Boundary control of the heat transfer process in the space,Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2019. vol. 63, no. 12, pp. 71–79.
  15. Fayazova Z. K. Boundary control for a Psevdo-Parabolic equation, Mathematical notes of NEFU, 2018. vol. 25, no. 2, pp. 40–45.
  16. Il’in V. A., Moiseev E. I. Optimization of boundary controls of string vibrations, Rus. Math. Surveys, 2005. vol. 60, no. 6, pp. 1093–1119.
  17. Fursikov A. V. Optimal Control of Distributed Systems: Math. Soc., Prov., 2000.
  18. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Uraltseva N. N. Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type. Moscow: Nauka, 1967 (In Russian).
  19. Lions J. L. Contróle optimal de systèmes gouvernés par deséquations aux dérivées partielles. Dunod Gauthier-Villars: Paris, 1968.
  20. Dubljevic S., Christofides P. D. Predictive control of parabolic PDEs with boundary control actuation. Chemical Engineering Science, 2006.
  21. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of Mathematical Physics. Moscow, 1966.
  22. Vladimirov V. S. Equations of Mathematical Physics. Marcel Dekker: New York, 1971.

Информация об авторе


Дехонов Фаррухжон Нуриддин угли – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Наманганский государственный университет, Наманган, Узбекистан, https://orcid.org/0000-0003-4747-8557.

Читать статьюСкачать статью