Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. №1. C. 9-26. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА                                                                                                                                     
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-9-26
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version 

Разрешимость нелокальной обратной задачи для уравнения четвертого порядка

А. Б. Бекиев^*

Каракалпакский государственный университет имени Бердаха, Узбекистан, Республика Каракалпакстан, 230112, г. Нукус, ул. Ч. Абдиров 1.

Аннотация.  В данной работе для уравнения в частных производных четвертого порядка в прямоугольной области рассмотрена нелокальная обратная задача по поиску неизвестной правой части, которая зависит от одной переменной. Собственные функции и присоединенные функции соответствующей спектральной задачи, и их биортогональные функции полны и образуют базис Рисса в пространстве L_2\left(0,1\right) . Установлены критерии единственности и существования решения рассматриваемой нелокальной обратной задачи для уравнения четвертого порядка. Единственность решения нелокальной обратной задачи вытекает из полноты системы биортогональных функций. Решение задачи построено в виде суммы ряда по собственным и присоединенным функциям, соответствующей спектральной задачи. Установлены достаточные условия на граничные функции, которые гарантируют теоремы существования и устойчивости решения рассматриваемой задачи. В замкнутой области показана абсолютная и равномерная сходимость найденного решения обратной задачи в виде ряда, а также рядов, полученных почленным дифференцированием по t и x соответственно два и четыре раза, в зависимости от гладкости функции заданными начальными условиями. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. Доказано, что в зависимости от размера области, множество ненулевых решений выражения в знаменателе не пусто. А также, показано, что если этот знаменатель равен нулю, то данная задача будет иметь нетривиальное решение при однородных условиях. Доказана также, устойчивость решения обратной задачи по нормам пространств L_2, W^n_2 и C\left(\Omega\pm\right) , относительно изменения входных данных.

Ключевые слова: уравнение четвертого порядка, обратная нелокальная задача, единственность, существование, устойчивость.

Получение: 02.01.2023; Исправление: 01.02.2023; Принятие: 08.04.2023; Публикация онлайн: 15.04.2023

Для цитирования. Бекиев А.Б. Разрешимость нелокальной обратной задачи для уравнения четвертого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. № 1. C. 9-26. EDN: BJBNHI. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-9-26.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность
за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^*Корреспонденция: E-mail: ashir1976@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Бекиев А. Б., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Аманов Д. Разрешимость и спектральные свойства краевых задач для уравнений четного порядка, автореф. дис. . . . д-ра физ.-матем. наук. Ташкент: АН РУз, 2019. 44 с.
  2. Амиров Ш., Кожанов А. И. Глобальная разрешимость начально-краевых задач для некоторых нелинейных аналогов уравнения Буссинеска,Матем. заметки, 2016. Т. 99, №2, С. 171–180. DOI: 10.4213/mzm10617.
  3. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. M.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.
  4. Джураев Т. Д., Сопуев А.К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка, 2000. 144 с.
  5. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.
  6. Калиев И. А., Мугафаров М. Ф., Фаттахова О. В. Обратная задача для параболического уравнения с переменным направлением времени с обобщенными условиями сопряжения, Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, №2, С. 34-42.
  7. Камынин В. Л.Обратная задача одновременного определения правой части и младшего коэффициента в параболическом уравнении со многими пространственными переменными, Математические заметки, 2015. Т. 97, №3, С. 368-381, DOI: 10.4213/mzm10499.
  8. Камынин В. Л. Обратная задача одновременного определения двух зависящих от пространственной переменной младших коэффициентов в параболическом уравнении, Математические заметки, 2019. Т. 106, №2, С. 248-261, DOI: 10.4213/mzm12164.
  9. Кожанов А. И. Обратные задачи восстановления правой части специального вида в параболическом уравнении, Математические заметки СВФУ, 2016. Т. 23, №4, С. 31-45.
  10. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентами, зависящими от времени, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2017. Т. 57, №6, С. 961-972.
  11. Короткий А. И., Стародубцева Ю. В. Моделирование прямых и обратных граничных задач для стационарных моделей тепломассопереноса. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2015. 168 с.
  12. Лаврентьев М. М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения, Докл. АН СССР, 1964. Т. 157, №3, С. 520-521.
  13. Мегралиев Я. Обратная краевая задача для уравнения изгиба тонких пластинок с дополнительным интегральным условием, Дальневосточный математический журнал, 2013. Т. 13, №1, С. 83-101.
  14. Мегралиев Я. Т., Ализаде Ф. Х. Обратная краевая задача для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с нелокальными интегральными по времени условиями второго рода, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки., 2016. Т. 26, №4, С. 503-514, DOI: 10.20537/vm160405.
  15. Пятков С.Г., Квич Е.С. Восстановление младших коэффициентов в параболическом уравнении с меняющимся направлением времени, Вестник ЮУрГУ. Серия “Математика. Механика. Физика”, 2018. Т. 10, №4, С. 23-29, DOI: 10.14529/mmph180403.
  16. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.  264 с.
  17. Сабитов К. Б., Хаджи И. А. Краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с неизвестной правой частью, Изв. вузов. Матем., 2011. №5, С. 44-52.
  18.  Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В.Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа, Изв. вузов. Матем., 2011. №2, С. 71-85.
  19. Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В. Обратная задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с нелокальным граничным условиям, Сиб. матем. журн., 2012. Т. 53, №3, С. 633-647.
  20. Сабитов К. Б., Сидоров С. Н. Обратная задача для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения с нелокальным граничным условием, Известия вузов. Математика, 2015. №1, С. 46-59.
  21. Телешова Л. А. Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка, дис.. . . канд. физ.-матем. наук: Улан-Уде, 2017. 155 с.
  22. Юлдашев Т.К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка, Известия Института математики и информатики УдГУ, 2016. Т. 1(47), С. 119-128.
  23. Юлдашев Т. К. Смешанное дифференциальное уравнение типа Буссинеска, Вест. Волгогр. гос. ун-та. Сер.1, Мат. Физ., 2016. №2(33), С. 13-23. DOI: 10.15688/jvolsu1.2016.2.2.
  24. Berdyshev A.S., Cabada A., Kadirkulov B.J. The Samarskii-Ionkin type problem for the fourth order parabolic equation with fractional differential operator, Computers and Mathematics with Applications, 2011. vol. 62, pp. 3884-3893.
  25. Jiang D., Liu Y., Yamamoto M. Inverse source problem for the hyperbolic equation witha time-dependent principal part, J. Differential Equations, 2017. vol. 262, no. 1, pp. 653-681. DOI: 10.1016/j.jde.2016.09.036.
  26. Prilepko A. I., Orlovsky D. G. Vasin I. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York-Basel: Global Express Ltd., 1999. 709 с.

Информация о авторе

Бекиев Аширмет Бекиевич – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Дифференциальное уравнение» Каракалпакского государственного университета имени Бердаха, г. Нукус, Узбекистан, https://orcid.org/0000-0001-8630-4360.

Читать статьюСкачать статью