Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 43. №2. C. 20-30. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.912, 519.85

Содержание выпуска

Read English Version 

Об уточнении метода сведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному уравнению высшего порядка, позволяющего найти общее решение исходной

Д. Н. Баротов¹^\ast, Р. Н. Баротов²

¹Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, 109456, г. Москва, 4-й Вешняковский проезд, д. 4, Россия
²Худжандский государственный университет им. академика Бободжона Гафурова, 735700, г. Худжанд, пр. Мавлонбекова , д. 1, Таджикистан

Аннотация. Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями. При изучении конкретных дифференциальных уравнений, которые возникают в процессе решения физических задач, создаются методы, обладающие большой общностью и применяющиеся к широкому кругу математических проблем. Задачи интегрирования дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами оказали большое влияние на развитие линейной алгебры. В настоящее время задача решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами   x^\prime\left(t\right) = A· x\left(t\right) является одной из важнейших проблем как теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и линейной алгебры. Одним из наиболее известных методов решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является метод приведения системы линейных уравнений к одному уравнению высшего порядка, позволяющему находить решения исходной системы в виде линейных комбинаций производных только одной функции. В данной работе исследована следующая задача: для каких матриц A компоненты системы x^\prime\left(t\right) = A· x\left(t\right) при любом начальном условии x\left(t_0\right) = x_0 могут быть выражены в виде линейных комбинаций производных только одной заданной компоненты x_k(t). Сформулирован новый простой критерий выразимости и подробно доказана его корректность. Полученный результат может быть также применен при исследовании решений системы x^\prime\left(t\right) = A· x\left(t\right) на периодичность и при изучении линейных систем на полную наблюдаемость.

Ключевые слова: однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, метод приведения системы линейных уравнений к одному уравнению высшего порядка, критерий выразимости, алгоритм.

Получение: 28.03.2023; Исправление: 29.06.2023; Принятие: 03.07.2023; Публикация онлайн: 08.07.2023

Для цитирования. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. Об уточнении метода сведения системы линейных дифференциальных уравнений к одному уравнению высшего порядка, позволяющего найти общее решение исходной // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 43. № 2. C. 20-30. EDN: KJHTVW. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-20-30.

Финансирование. Работа выполнялась без поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: dnbarotov@fa.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Баротов Д. Н., Баротов Р. Н., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматгиз, 2010. 560 с.
  2. Пантелеев А. В., Якимова А. С., Рыбаков К. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Практикум. М.: Инфра-М., 2016. 432 с.
  3. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1965. 332 с.
  4. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Физматгиз, 1961. 100 с.
  5. Мухамеджанова У. М.Жорданова форма матрицы и решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Ученые записки Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафурова. Серия: Естественные и экономические науки, 2017. №1, С. 20-26.
  6. Балоев А. А. Матрично-алгебраическая форма решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Сибирский журнал индустриальной математики, 2014. Т. 17, №3, С. 3-12.
  7. Назимов А. Б., Очилова М. А. О приведении системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к одному дифференциальному уравнению высокого порядка, Современные проблемы и перспективы обучения математике, физике, информатике в школе
    и вузе: Межвузовский сборник научно — методических трудов. Вологда, Вологодский гос. унив., 2021, С. 41-47.
  8. Подгаев А. Г., Син А. З. Простой способ обоснования метода исключения при решении нормальной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Ученые заметки ТОГУ, 2014. Т. 5, №4, С. 1357-1363.
  9. Щитов И. Н., Бегун Е. Н. Об одном методе решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Актуальные проблемы радио- и кинотехнологий: Материалы VI Международной научно-технической конференции, посвященной 125-летию со дня рождения выдающегося русского ученого в области электроники и вакуумной техники С.А. Векшинского, 16–17 ноября 2021 г.. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный институт кино и телевидения, 2022, С. 172–176.
  10. Малышев Ю. В., Атаманов П. С.О решении системы линейных дифференциальных уравнений операторным методом, Вестник Чувашского университета, 2011. №3, С. 155-159.
  11. Ивлев В. В., Кривошей Е. А. Системы линейных дифференциальных уравнений. Интегрируемые комбинации (продолжение),Математическое образование, 2018. №1 (85), С. 47-51.
  12. Рыбаков М. А.Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
    коэффициентами с помощью преобразования Лапласа, Вестник российских университетов. Математика, 2009. Т. 14, №4, С. 791-792.
  13. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н.О выразимости функций системы x^\prime\left(t\right) = A· x\left(t\right) , собственные значения матрицы которой являются некратными в виде линейных комбинаций производных одной функции, входящей в эту систему, Прикладная математика и вопросы управления, 2023. №2, С. 9-20.
  14. Баротов Д. Н., Баротов Р. Н. Об одном критерии выразимости функций системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде линейных комбинаций производных одной функции, входящей в эту систему, Вычислительные методы и программирование, 2023. №3, С. 1-15.
  15. Ha T. T., Gibson J. A.A note on the determinant of a functional confluent Vandermonde matrix and controllability, Linear Algebra and its Applications, 1980. vol. 30, pp. 69-75.

Информация об авторах

Баротов Достонжон Нумонжонович – старший преподаватель департамента анализа данных и машинного обучения Финансового университета при Правительстве РФ, Москва, Россия, ORCID 0000-0001-5047-7710.

Баротов Рузибой Нумонжонович – докторант кафедры математического анализа имени профессора А. Мухсинова Худжандского государственного университета имени академика Б. Гафурова, Худжанд, Таджикистан, ORCID 0000-0003-3729-6143.

Читать статьюСкачать статью