Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. C. 8-19. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА

Р.Р. Ашуров, А.Т. Мухиддинова

Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, ул. Мирзо Улугбека 85, 100170, Узбекистан

E-mail: ashurovr@gmail.com,oqila1992@mail.ru

В настоящей работе исследуется начально-краевые задачи для гиперболических уравнений, эллиптическая часть которых имеет наиболее общий вид и определена в произвольной многомерной области (с достаточно гладкой границей). Установливаются требования на правую часть уравнения и начальные функции, при которых к рассматрываемую задачу применим классический метод Фурье. Другими словами, доказывается методом Фурье существование и единственность решения смешанной задачи и показана устойчивость найденного решения от данных задачи: от начальных функций и правой части уравнения. Введено понятие обобщенного решения и доказана теорема о его существования. Аналогичные результаты справедливы и для параболических уравнений.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, начально-краевые задачи, метод Фурье, существование, единственность и устойчивость классического решения, обобщенное решение

© Ашуров Р. Р., Мухиддинова А.Т., 2020

MATHEMATICS

MSC 35G15, 35L35

INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATIONS WITH AN ARBITRARY ORDER ELLIPTIC OPERATOR

R. R. Ashurov, A.T. Muhiddinova

Institute of Mathematics named after V. I. Romanovskiy, Academy of Sciences of Uzbekistan, Academy of Sciences of Uzbekistan, Mirzo Ulugbek str., 85, Tashkent, 100170, Uzbekistan

E-mail: ashurovr@gmail.com,oqila1992@mail.ru

An initial-boundary value problem for a hyperbolic equation with the most general elliptic differential operator, defined on an arbitrary bounded domain, is considered. Uniqueness, existence and stability of the classical solution of the posed problem are proved by the classical Fourier method. Sufficient conditions for the initial function and for the right-hand side of the equation are indicated, under which the corresponding Fourier series converge absolutely and uniformly. The notion of a generalized solution is introduced and existence theorem is proved. Similar results are formulated for parabolic equations too.

Key words: hyperbolic equation, initial-boundary value problems, Fourier
method, existence, uniqueness, stability, classical solution, generalized solution.

© Ashurov R. R., Muhiddinova A. T., 2020

Список литературы/References

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Наука, М., 1966, 724 с. [Tikhonov A. N., Samarskiy A. A., Uravneniya matematicheskoy fiziki, Nauka, M., 1966, 724 pp.]
  2. Коренев Б. Г. , Вопросы расчета балок и плит на упругом основании, Стройиздат, М., 1954, 232 с. [Korenev B. G., Voprosy rascheta balok i plit na uprugom osnovanii, Stroyizdat, M., 1954, 232 pp.]
  3. Сабитов К. Б., “Колебания балки с заделанными концами”, Вест. Сам. гос. техн. ун-та, Сер. Физ.-мат. науки, 19:2 (2015), 311-324. [Sabitov K. B., “Kolebaniya balki s zadelannymi kontsami”, Vest. Sam. gos. tekhn. un-ta, Ser. Fiz.-mat. nauki, 19:2 (2015), 311-324].
  4. Сабитов К. Б., “К теории начально-краевых задач для уравнения стержней и балок”, Дифференциальные уравнения, 53:1 (2017), 89-100. [Sabitov K. B., “K teorii nachal’nokrayevykh zadach dlya uravneniya sterzhney i balok”, Differentsial’nyye uravneniya, 53:1
    (2017), 89-100].
  5. Сабитов К. Б., “Задача Коши для уравнения колебания балки”, Дифференциальные уравнения, 53:5 (2017), 665-671. [Sabitov K. B., “Zadacha Koshi dlya uravneniya kolebaniya balki”, Differentsial’nyye uravneniya, 53:5 (2017), 665-671].
  6. Касимов Ш.Г., Мадрахимов У. С., “Начально-граничная задача для уравнения колебаний балки в многомерном случае”, Дифференциальные уравнения, 55:10 (2019), 1379-1391. [Kasimov SH. G., Madrakhimov U. S., “Nachal’no-granichnaya zadacha dlya
    uravneniya kolebaniy balki v mnogomernom sluchaye”, Differentsial’nyye uravneniya, 55:10 (2019), 1379-1391].
  7. Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, Гостехиздат, М., 1953, 281 с. [Ladyzhenskaya O. A., Smeshannaya zadacha dlya giperbolicheskogo uravneniya, Gostekhizdat, M., 1953, 281 pp.]
  8. Ильин В. А., “О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений”, Успехи мат. наук, 15:2 (1960), 97-154. [Il’in V. A., “O razreshimosti smeshannykh zadach dlya giperbolicheskogo i parabolicheskogo uravneniy”, Uspekhi mat. nauk, 15:2 (1960), 97-154].
  9. Agmon S., “On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems”, Comm. Pure and Appl. Math., 15:2 (1962), 119-143.
  10. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. С., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, Наука, М., 1966, 499 с. [Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. С., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, Наука, М., 1966, 499 pp.]
  11. Алимов Ш. А., “Дробные степени эллиптических операторов и изоморфизм классов дифференцируемых функций”, Дифференциальные уравнения, 8:9 (1972), 1609-1626. [ “Drobnyye stepeni ellipticheskikh operatorov i izomorfizm klassov differentsiruyemykh funktsiy”, Differentsial’nyye uravneniya, 8:9 (1972), 1609-1626].
  12. Алимов Ш. А., Ашуров Р. Р., Пулатов А. К., “Кратные ряды и интегралы Фурье. Коммутативный гармонический анализ”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 42 (1989), 7-104. [Alimov SH. A., Ashurov R. R., Pulatov A. K., “Kratnyye ryady i integraly Fur’ye. Kommutativnyy garmonicheskiy analiz”, Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. probl. mat. Fundam. napravleniya, 42 (1989), 7-104].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.
  2. Коренев Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М.: Стройиздат, 1954. 232 с.
  3. Сабитов К. Б. Колебания балки с заделанными концами // Вест. Сам. гос. техн. ун-та, Сер. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 19. № 2. С. 311-324. DOI: 10.14498/vsgtu1406.
  4. Сабитов К. Б. К теории начально-краевых задач для уравнения стержней и балок // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 89-100. DOI: 10.1134/S0012266117010086.
  5. Сабитов К.Б. Задача Коши для уравнения колебания балки // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 5. С. 665-671. DOI: 10.1134/S0012266117050093.
  6. Касимов Ш. Г., Мадрахимов У. С. Начально-граничная задача для уравнения колебаний балки в многомерном случае // Дифференциальные уравнения. 2019. Т. 55. № 10. С. 1379-1391. DOI: 10.1134/S0374064119100091.
  7. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гостехиздат, 1953. 281 c.
  8. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15. № 2. С. 97-154.
  9. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm. Pure and Appl. Math. 1962. vol. 15. issue 2. P. 119-143. DOI: 10.1002/cpa.3160150203.
  10. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. С. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 499 с.
  11. Алимов Ш. А. Дробные степени эллиптических операторов и изоморфизм классов дифференцируемых функций // Дифференциальные уравнения. 1972. T. 8. № 9. C. 1609-1626.
  12. Алимов Ш.А., Ашуров Р. Р., Пулатов А. К. Кратные ряды и интегралы Фурье. Коммутативный гармонический анализ //Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. 1989. Т. 42. C. 7-104.

Для цитирования: Ашуров А. А., Мухиддинова А.Т. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений с эллиптическим оператором произвольного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. C. 8-19. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19.

For citation: Ashurov R. R., Muhiddinova A. T. Initial-boundary value problem for hyperbolic equations with an arbitrary order elliptic operator, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 30: 1, 8-19. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 30.03.2020

Ашуров Равшан Раджабович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лаборатории дифференциальных уравнений и их приложений Института Математики Академии наук Узбекистана имени В.И. Романовского, г. Ташкент, Республика Узбекистан.

Ashurov Ravshan Radjabovich – D. Sci. (Phys. & Math.), Professor, Head of Laboratory of Differential Equations and their applications, Institute of Mathematics, Academy of Sciences of Uzbekistan, Tashkent, Uzbekistan.

Мухиддинова Акила Тулкиновна – аспирант лаборатории дифференциальных уравнений и их приложений Института Математики Академии наук Узбекистана имени В.И. Романовского, Ташкент, Республика Узбекистан.

Mukhiddinova Akila Tulkinovna – Graduate student of the laboratory of differential equations and their applications of the Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of Uzbekistan named after V.I. Romanovsky, Tashkent, Republic of Uzbekistan

Читать статью/Read articleСкачать/Download