Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 48. №3. C. 7 — 19. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА

https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-48-3-7-19

Научная статья

Полный текст на английском языке

УДК 517.958

Содержание выпуска

Read English Version

Краевые задачи для трехмерного уравнения Гельмгольца в неограниченном октанте, квадрате и полупространстве

О. З. Арзикулов ^{\ast}

Ферганский политехнический институт, 150107, ул. Ферганская, 86, г. Фергана, Узбекистан

Аннотация. В настоящее время известны результаты исследования краевых задач для двумерного уравнения Гельмгольца с одним и двумя сингулярными коэффициентами. При наличии двух положительных сингулярных коэффициентов в двумерном уравнении Гельмгольца явные решения задач Дирихле, Неймана и Дирихле-Неймана в четверти плоскости выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию двух переменных. Установленные свойства вырожденной гипергеометрической функции двух переменных позволяют доказать теорему единственности и существования решения поставленных задач. В данной работе изучаются задачи Дирихле, Неймана и Дирихле-Неймана для трехмерного уравнения Гельмгольца при нулевых значениях сингулярных коэффициентов в октанте, четверти пространства и полупространстве. Доказываются теоремы единственности и существования при определенных ограничениях на данные.Единственность решений которых доказывается с помощью принципа экстремума для эллиптических уравнений. Используя известное фундаментальное (сингулярное) решение уравнения Гельмгольца, решения исследуемых задач выписываются в явном виде.

Ключевые слова: вырожденная гипергеометрическая функция трех переменных; система уравнений в частных производных; асимптотическая формула; трехмерное уравнение Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами; задача Дирихле в первом бесконечном октанте

Получение: 27.09.2024; Исправление: 26.10.2024; Принятие: 05.11.2024; Публикация онлайн: 20.11.2024

Для цитирования. Arzikulov Z. O. Boundary value problems for the three-dimensional Helmholtz equation in the unbounded octant, square and half space // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 48. № 3. C. 7-19. EDN: MRZFAU. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-48-3-7-19.

Финансирование. Работа была выполнена без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: zafarbekarzikulov1984@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Arzikulov Z. O., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Hu G., Rathsfeld A. Radiation conditions for the Helmholtz equation in a half plane filled by inhomogeneous periodic material, Journal of Differential Equations, 2024. vol. 388, pp. 215–252.
2. Chandler-Wilde S. N. Boundary value problems for the Helmholtz equation in a halfplane, Conference: Third International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation Phenomena, 1994. vol. 94, pp. 1–12.
3. Frank-Olme S., Ernst S. Boundary Value Problems for the Helmholtz Equation in an Octant, Integral Equations and Operator Theory, 2008. vol. 62, pp. 269–300.
4. Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Lectures on Mathematical Physics. Moscow: Moscow State University, 1993. 352 pp. (in Russian)
5. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Table of integrals, series and products. Amsterdam: Academic Press, 2007. 1172 pp.
6. Ergashev T. G., Safarbaeva N. M. Holmgren’s problem for a multidimensional Helmholtz equation with one singular coefficient, Bulletin of the Institute of Mathematics, 2020. vol. 1, pp. 127 – 135.
7. Ergashev T. G., Hasanov A. Holmgren problem for elliptic equation with singular coefficients, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki., 2020. vol. 32, no. 3, pp. 159 – 175.
8. Ergashev T. G., Hasanov A. Fundamental solutions of the bi-axially symmetric Helmholtz equation, Uzbek Mathematical Journal, 2018. vol. 1, pp. 55 – 64.
9. Ergashev T. G. Third double-layer potential for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation, Ufa Mathematical Journal, 2018. vol. 10, pp. 111 – 121.
10. Repin O. A., Lerner M. E.On the Dirichlet problem for the generalized bioxially symmetric Helmholtz equation in the first quadrant,Vestnik Samarsk. Gos. Tekh. Universiteta, Ser. fiz.-matem. nauki, 1998. vol. 6, pp. 5 – 8 (in Russian).
11. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives. Theory and applications. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 1993. 976 pp.
12. Juraev D. A., Agarwal P., Elsayed E. E., Targyn N. Applications of the Helmholtz equation, Advanced Engineering Days, 2023. vol. 8, pp. 28 – 30.
13. Juraev D. A. On the Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation in a bounded domain, Siberian Electronic Mathematical Reports, 2018. vol. 15, pp. 11 – 20.
14. Juraev D. A. The construction of the fundamental solution of the Helmholtz equation, Reports of the
    Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan, 2012. vol. 2, pp. 14 – 17.
15. Zwillinger D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed.. Boston, MA: Academic Press, 1997. 129 pp.
16. Tikhonov, A. N. and Samarskii, A. A. Equations of Mathematical Physics, Dover Publ.. New York: Dover Publ, 1990. 829 pp.
17. Budak, B. M., Samarskii, A. A., and Tikhonov, A. N. Collection of Problems on Mathematical Physics. Moscow: Nauka, 1980. 829 pp. (in Russian)
18. Kapilevich M.B.On one equation of mixed elliptic-hyperbolic type., Matematicheskii sbornik, 1952. vol. 30(72), pp. 11 – 38 (in Russian).
19. Marichev O.I. Integral representation of solutions of the generalized biaxially symmetric Helmholtz equation and its inversion formula., Differensialniye uravneniya, 1978. vol. 14, pp. 1824 – 1831 (in Russian).

---

Информация об авторе

---