Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 15-28. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

МАТЕМАТИКА

Научная статья

УДК 519.622.2

Численное решение краевой задачи для нагруженного параболического уравнения с нелокальными граничными условиями

В.М. Абдуллаев¹²

¹Азербайджанский государственный университет нефти и промышленности, AZ1010, г. Баку, пр-т Азадлыг, 20
²Институт систем управления НАН Азербайджана, AZ114, г. Баку, ул. Вахабзаде, 9

E-mail: vaqif_ab@rambler.ru

В работе с использованием метода прямых исследуется численное решение краевой задачи относительно нагруженного параболического уравнения с нелокальными краевыми условиями. Получены расчетные формулы и приводится алгоритм для решения задачи. Приведены результаты численного решения двух тестовых задач, иллюстрирующие эффективность предложенного подхода.

Ключевые слова: нагруженные дифференциальные уравнения, нелокальные условия, метод прямых, перенос краевых условий.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-15-28

Поступила в редакцию: 05.08.2020

В окончательном варианте: 28.09.2020

Для цитирования. Абдуллаев В. М. Численное решение краевой задачи для нагруженного параболического уравнения с нелокальными граничными условиями // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 32. № 3. C. 15-28. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-15-28

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Абдуллаев В. М., 2020

MATHEMATICS

Research Article

MSC 65M20

Numerical solution of a boundary value problem for a loaded parabolic equation with nonlocal boundary conditions

V. M. Abdullayev¹²

¹Azerbaijan State Oil and Industry University, Azadlig avenue 20, AZ1010, Baku, Azerbaijan
²Institute of Control Systems, Azerbaijan National Academy of Sciences, 9 B. Vahabzade str. Baku, AZ1141, Azerbaijan

E-mail: vaqif_ab@rambler.ru

In the work, we propose a numerical method of solution to the boundary-value problem with respect to the loaded parabolic equation with nonlocal boundary conditions. We have obtained formulas and derived an algorithm for the solution of the problem. We provide the results of numerical solution to two test problems, which illustrates the efficiency of the approach proposed.

Key words: loaded differential equations, nonlocal conditions, method of lines, transfer of boundary conditions.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-15-28

Original article submitted: 05.08.2020

Revision submitted: 28.09.2020

For citation. Abdullayev V. M. Numerical solution of a boundary value problem for a loaded parabolic equation with nonlocal boundary conditions. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 32: 3, 15-28. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-15-28

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Abdullayev V. M., 2020

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 305 с. [Nahushev A. M., Uravnenija matematicheskoj biologii, Vysshaja shkola, Moskva, 1995, 305 pp.]
  2. Нахушева В. А., Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Наука, М., 2006, 173 с. [Nahusheva V. A., Differencial’nye uravnenija matematicheskih modelej nelokal’nyh processov, Nauka, M., 2006, 173 pp.]
  3. Нахушев А. М., Нагруженные уравнения и их применение, Наука, М., 2012, 232 с. [Nahushev A. M., Nagruzhennye uravnenija i ih primenenie, Nauka, M., 2012, 232 pp.]
  4. Нахушев А. М., Борисов В. Н., “Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод”, Дифференц. уравнения, 13:1 (1977), 105-110 [Nahushev A. M., Borisov V. N., “Kraevye zadachi dlja nagruzhennyh parabolicheskih uravnenij i ih prilozhenija k prognozu urovnja gruntovyh vod”, Differenc. uravnenija, 13:1 (1977), 105–110].
  5. Худалов М. З., “Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа”, Владикавк. матем. журнал, 4:4 (2002), 59-64. [Hudalov M. Z., “Nelokal’naja kraevaja zadacha dlja nagruzhennogo uravnenija parabolicheskogo tipa”, Vladikavk. matem. zhurn., 4:4 (2002), 59–64].
  6. Дикинов Х. Ж., Керефов А. А., Нахушев А. М., “Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности”, Дифференц. уравнения, 12:1 (1976), 177–179. [Dikinov H. Zh., Kerefov A. A., Nahushev A. M., “Ob odnoj kraevoj zadache dlja nagruzhennogo uravnenija teploprovodnosti”, Differenc. uravnenija, 12:1 (1976), 177–179].
  7. Шхануков-Лафишев М. Х., “Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода”, Ж. вычисл. матем. и математической физики, 49:7 (2009), 1223-1231. [Shhanukov-Lafishev M.H., “Lokal’no-odnomernaja shema dlja nagruzhennogo uravnenija teploprovodnosti s kraevymi uslovijami III roda”, Zh. vychisl. matem. i matematicheskoj fiziki, 49:7 (2009), 1223-1231].
  8. Егоров А. И., Основы теории управления, Физматлит, М., 2004, 504 с. [Egorov A. I., Osnovy teorii upravlenija, Fizmatlit, M, 2004, 504 pp.]
  9. Aida-zade K. R., Abdullaev V. M., “On an Approach to Designing Control of the Distributed-Parameter Processes”, Autom. Remote Control, 73:9 (2012), 1443–1455.
  10. Aida-zade K. R., Abdullaev V. M., “Optimizing placement of the control points at synthesis of the heating process control”, Autom. Remote Control, 78:9 (2017), 1585–1599.
  11. Кожанов А. И., “Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи”, Ж. вычисл. матем. и математической физики, 44:4 (2004), 694–716. [Kozhanov A. I., “Nelinejnye nagruzhennye uravnenija i obratnye zadachi”, Zh. vychisl. matem. i matem. fiz., 44:4 (2004), 694–716].
  12. Алиханов А. А., Березков А. М., Шхануков-Лафишев М. Х., “Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации”, Ж. вычисл. матем. и математической физики, 48:9 (2008), 1619-1628. [Alihanov A. A., Berezkov A. M., Shhanukov-Lafishev M. H., “Kraevye zadachi dlja nekotoryh klassov nagruzhennyh differencial’nyh uravnenij i raznostnye metody ih chislennoj realizacii”, Zh. vychisl. matem. i matematicheskoj fiziki, 48:9 (2008), 1619-1628].
  13. Самарский А. A., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, Наука, М., 1978, 532 с. [Samarskij A. A., Nikolaev E. S., Metody reshenija setochnyh uravnenij, Nauka, M., 1978, 532 pp.]
  14. Abdullayev V. M., Aida-zade K. R., “Finite-difference methods for solving loaded parabolic equations”, Comput. Math. Math. Phys., 56:1 (2016), 93–105.
  15. Бондарев Э. А., Воеводин А. Ф., “Разностный метод решения начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений”, Дифференц. уравнения, 36:11 (2000), 1560-1562. [Bondarev Je. A., Voevodin A. F., “Raznostnyj metod reshenija nachal’no-kraevyh zadach dlja nagruzhennyh differencial’nyh i integrodifferencial’nyh uravnenij”, Differenc. uravnenija, 36:11 (2000), 1560–1562].
  16. Дженалиев М. Т., “Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями”, Дифференц. уравнения, 25:4 (1989), 641-651. [Dzhenaliev M. T., “Optimal’noe upravlenie linejnymi nagruzhennymi parabolicheskimi uravnenijami”, Differenc. uravnenija, 25:4 (1989), 641-651].
  17. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R., “Numerical Solution of Optimal Control Problems for Loaded Lumped Systems”, Comput. Math. Math. Phys., 46:9 (2006), 1487–1502.
  18. Abdullayev V. M., “Numerical solution to parametric identification problems partial differential equations”, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 22:2 (2018), 33-44.
  19. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R., “Numerical method of solution to loaded nonlocal boundary-value problems for ordinary differential equations”, Comput. Math. Math. Phys., 54:7 (2014), 1096–1109.
  20. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R., “On the Numerical Solution of Loaded Systems of Ordinary Differential Equations”, Comput. Math. Math. Phys., 44:9 (2004), 1585–1595.
  21. Абрамов А. А., “О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1:3 (1961), 542–545. [Abramov A. A., “O perenose granichnyh uslovij dlja sistem linejnyh obyknovennyh differencial’nyh uravnenij (variant metoda progonki)”, Zh. vychisl. matem. i matem. fiz., 1:3 (1961), 542–545].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 305 с.
  2. Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука. 2006. 173 с.
  3. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука. 2012. 232 с.
  4. Нахушев А. М., Борисов В. Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13. №1. С. 105-110.
  5. Худалов М. З. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа // Владикавк. матем. журнал. 2002. Т.4, №4. С. 59-64.
  6. Дикинов Х. Ж., Керефов А. А., Нахушев А. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №1. С. 77-79.
  7. Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и математической физики. 2009. Т. 49, №7. С. 1223-1231.
  8. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит. 2004. 504 с.
  9. Aida-zade K. R., Abdullaev V. M. On an Approach to Designing Control of the Distributed-Parameter Processes // Autom. Remote Control. 2012. Vol.73, No.9. Pp. 1443–1455.
  10. Aida-zade K. R., Abdullaev V. M. Optimizing placement of the control points at synthesis of the heating process control // Autom. Remote Control. 2017. vol. 78. No.9. pp. 1585–1599.
  11. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Ж. вычисл. матем. и математической физики. 2004. T.44, №4. С.694–716.
  12. Алиханов А. А., Березков А. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации // Ж. вычисл. матем. и математической физики. 2008. T. 48. № 9. С.1619-1628.
  13. Самарский А. A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
  14. Abdullayev V. M., Aida-zade K. R. Finite-difference methods for solving loaded parabolic equations // Comput. Math. Math. Phys. 2016. vol.56. No. 1. P. 93–105.
  15. Бондарев Э. А., Воеводин А. Ф. Разностный метод решения начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2000. T.36. №11. С. 1560-1562.
  16. Дженалиев М. Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифференц. уравнения. 1989. T. 25. №4. С.641-651.
  17. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R. Numerical Solution of Optimal Control Problems for Loaded Lumped Systems // Comput. Math. Math. Phys. 2006. vol. 46, No.9. P.1487–1502.
  18. Abdullayev V. M. Numerical solution to parametric identification problems partial differential equations // Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018. vol. 22. No.2. P. 33-44. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-22-2-33-44
  19. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R. Numerical method of solution to loaded nonlocal boundary-value problems for ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. 2014. vol. 54, No.7. P.1096–1109.
  20. Abdullaev V. M., Aida-zade K. R. On the Numerical Solution of Loaded Systems of Ordinary Differential Equations // Comput. Math. Math. Phys. 2004. vol. 44, No. 9. P. 1585–1595.
  21. Абрамов А. А. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. T.1. №3. С. 542–545.

Абдуллаев Вагиф Маариф оглы – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры общей и прикладной математики, Азербайджанский государственный
университет нефти и промышленности, ведущий научный сотрудник Института Систем Управления НАН Азербайджана, г. Баку, Республика Азербайджан, ORCID 0000-0001-7772-1226.

Abdullayev Vagif Maarif – Dr. Sci. (Phys.& Math.), Professor of the Department of General and Applied Mathematics, Azerbaijan State University of Oil and Industry, Senior Researcher of Institute of Control Systems of Azerbaijan National Academy of Sciences, Baku, Republic of Azerbaijan, ORCID 0000-0001-7772-1226.