Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 51. №2. C. 57 — 72. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-51-2-57-72
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version

О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для нагруженного гиперболического уравнения четвертого порядка с импульсными воздействиями

Ш.Ш. Юсубов¹, М. Н. Гусейнова²^{\ast}

¹Бакинский государственный университет, AZ1148, г. Баку, ул. З. Халилова, 23, Азербайджан
²Национальная авиационная академия, AZ1045, г. Баку, Мардаканский проспект, 30, Азербайджан

Аннотация. В статье рассматривается задача с нелокальными граничными и интегральными условиями для нагруженного гиперболического уравнения четвертого порядка с импульсными воздействиями. Исследуемое уравнение можно интерпретировать как обобщенное уравнение Буссинеска-Лява, возникающее при моделировании поперечных колебаний коротких толстых стержней, а также при изучении волновых процессов в периодически слоистых средах. Рассматриваемое уравнение в общем случае имеет негладкие коэффициенты, принадлежащие пространству Lp. Решение поставленной задачи ищется в функциональном пространстве соболевского типа. Существенно используется представление элементов этого пространства. Элементы этого функционального пространства допускают разрывы первого рода вдоль линий, параллельных характеристическим кривым. Используя это представление, задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению. Доказано, что для установления гомеоморфизма оператора, соответствующего поставленной задаче, между определенными парами банаховых пространств необходимо и достаточно, чтобы соответствующее интегральное уравнение имело единственное решение. Кроме того, установлены существование и единственность решения поставленной задачи. Далее строится соответствующее сопряженное интегральное уравнение, и с помощью априорной оценки доказывается существование и единственность его решения. Фундаментальное решение поставленной задачи определяется как частный случай сопряженного интегрального уравнения. На основе фундаментального решения получено интегральное представление решения поставленной задачи.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелокальная задача, задачи с импульсными воздействиями, нагруженные уравнения.

Получение: 11.06.2025; Исправление: 13.08.2025; Принятие: 29.08.2025; Публикация онлайн: 17.09.2025

Для цитирования. Юсубов Ш.Ш., Гусейнова М. Н. О корректной разрешимости нелокальной краевой задачи для нагруженного гиперболического уравнения четвертого порядка с импульсными воздействиями // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 51. № 2. C. 57-72. EDN: FZBWYU. https://doi.org/10.26117/2079- 6641-2025-51-2-57-72.

Финансирование. Работа выполнялась без поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: minayye.huseynova@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Юсубов Ш.Ш., Гусейнова М. Н. , 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966. 152 с.
  2. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 309 с.
  3. Pandit S. G., Deo S. G. Differential systems involving impulses, vol. 954. Lecture notes: Notes Math, 1982. 102 pp.
  4. Lakshmikanthham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equation. Singapure: World Sc, 1989. 434 pp.
  5. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода // Differ. Equ., 1988. Т. 24, №5, С. 795-804.
  6. Нахушев A. M. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012. 232 с.
  7. Дженалиев М.Т., Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений. А.: Наука, 2010. 336 с.
  8. Аттаев А. Х. Об одной нелокальной краевой задаче для модельного нелокального уравнения гиперболического типа // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 40, №3, С. 7–15 DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-7-15.
  9. Зикиров О. С., Холиков Д. К., Об одной задаче для нагруженного псевдопараболического уравнения третьего порядка // Математические заметки СВФУ, 2016. Т. 23, №2, С. 19–30.
  10. Юсубов Ш.Ш. Нелокальная задача с интегральными условиями для трехмерного гиперболического уравнения высокого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 33, №4, С. 51–62 DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-51-62.
  11. Yusubov Sh. Sh. Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation // Ukrains’kyi Matematychnyi Journal, 2017. vol. 19, no. 1, pp. 121–131 DOI: 10.1007/s11253-017-1353-3.
  12. Asanova A. T.On the correct solvability of a nonlocal boundary value problem for systems of hyperbolic equations with impulsive actions // Ukrains’kyi Matematychnyi Journal, 2015. vol. 67, no. 3, pp. 291–303.
  13. Bainov D. D., Minchev E., Myshkis A.On the correct solvability of a nonlocal boundary value problem for systems of hyperbolic equations with impulsive actions // Commun. Appl. Anal., 1997. vol. 1, no. 4, pp. 1–14.
  14. Belarbi A., Benchohra M. Existence theory for perturbed impulsive hyperbolic differential inclusions with variable times // J. Math. Anal.Appl., 2007. vol. 327, pp. 1116–1129.
  15. Perestyuk N. A., Tkach A. B.Periodic solutions for weakly nonlinear partial system with pulse influense // Ukrains’kyi Matematychnyi Journal, 1997. vol. 49, no. 4, pp. 601–605 DOI: 10.1007/BF02487331.
  16. Yusubov Sh. Sh.On correct solvability and representation of solutions to third-order hyperbolic equations with impulsive action // Bulletin of the Baku University, 2000. no. 1, pp. 124–130.
  17. Yusubov Sh. Sh.On the Fredholm property and representation of the solution of an impulsive integrodifferential equation // Proceedings of IMM AN Azerb, 1996. vol. V, no. XIII, pp. 187–192.
  18. Григорьева А. И. Задачи сопряжения для некоторых аналогов уравнения продольных волн с разрывным коэффициентом // Челяб. физ.-матем. журн., 2018. Т. 3, №3, С. 276–294 DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13302.
  19. Кожанов А. И., Шадрина Н. Н. Исследование влияния параметров на корректность задачи сопряжения для дифференциального уравнения Буссинеска — Лява // Челябинский физико- математический журнал, 2022. Т. 7, №1, С. 30–42.
  20. Yuldashev T. K. On a nonlocal problem for impulsive differential equations with mixed maxima // Vestnik Kraunc. Fiz.-mat. nauki, 2022. vol. 38, no. 1, pp. 40–53 DOI: 10.26117/2079-6641-2022-38-1-40-53.
  21. Yusubov Sh. SH., Huseynova M. N. On the Unique Solvability of a Nonlocal Boundary Value Problem for Fourth-Order Hyperbolic Equation with Impulsive Actions / 2023 5th International Conference on Problems of Cybernetics and Informatics (PCI) (28-30 August 2023). IEEE DOI: 10.1109/PCI60110.2023.10325919, Institute of Electrical and Electronics Engineers, 2023, pp. 1-4.
  22. Whitham G. B. Linear and Nonlinear Waves. London: John Wiley-Sons, 1974. 660 pp.
  23. Rao S. Advanced theory of biration. New York: Wiley, 1992. 431 pp.
  24. Бахвалов Н. С., Эглит М. Э.Э ффективные уравнения с дисперсией для распространения волн в периодических средах // Доклады Академии наук., 2000. Т. 370, №1, С. 7–10.
  25. Pulkina L. S., Beylin A. B. , Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar
    // Electronic Journal of Differential equations, 2019. no. 29, pp. 1–9.

Информация об авторах

Юсубов Шакир Шыхы – доктор математических наук, профессор, профессор кафедры математические методы теории управления, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджан,
ORCID 0000-0001-5330-5519.

Гусейнова Минайя Неймат – докторант кафедры инженерной математики и искусственного интеллекта АзТУ, Национальная авиационная академия, г. Баку, Азербайджан, ORCID 0009-0000-3416-1855.

Читать статьюСкачать статью