Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №2. C. 48 — 56. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-48-56
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.956, 511.21

Содержание выпуска

Read English Version

О периодических решениях краевой задачи для анизотропного уравнения четвертого порядка

А. В. Юлдашева¹^{\ast}, C. A. Шарипова²

¹Филиал МГУ в Ташкенте, ул. Амира Темура, 22, Ташкент, 100060, Узбекистан
²Национальный университет Узбекистана, ул. Университетская, 4, Ташкент, 100174, Узбекистан

Аннотация. В статье рассматривается краевая задача для уравнения четвертого порядка U_{xxxx} + U_{yyyy} = 0 , определенного в прямоугольной области при условии периодичности по одной из пространственных переменных. Исследуемая модель возникает при описании стационарных процессов деформации анизотропных упругих сред, где свойства материала различаются по направлению. Особенностью формулировки является сочетание жестких граничных условий на одной границе области и задания распределения изгибающего момента на противоположной границе. Показано, что при разложении решения в ряд Фурье по периодической координате задача сводится к дифференциальному уравнению четвертого порядка. Вследствие спектральных свойств соответствующего дифференциального оператора возникают малые знаменатели. Наличие малых знаменателей может привести к неустойчивости решения и некорректности задачи в классическом смысле. В статье обсуждаются условия существования периодического решения. Устанавливается связь между алгебраической природой безразмерного параметра, заданного отношением толщины области к фундаментальной геометрической постоянной, и гладкостью граничной функции. Показано, что регулярность решения существенно определяется диофантовыми свойствами этого параметра, которые влияют на поведение малых знаменателей в спектральном разложении. Доказано, что задача разрешима почти для всех значений заданного параметра в смысле меры Лебега, за исключением ряда исключительных случаев, соответствующих сильной алгебраической зависимости. Полученные результаты могут быть применены в моделировании процессов изгиба в слоистых и ортотропных структурах, а также в изучении некорректно поставленных задач в математической физике.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение четвертого порядка, периодическое решение, анизотропная среда, малые знаменатели, некорректно поставленная задача, изгиб пластины, ряды Фурье

Получение: 18.05.2026; Исправление: 18.06.2026; Принятие: 20.06.2026; Публикация онлайн: 14.09.2026

Для цитирования. Yuldasheva A. V., Sharipova S. A. On periodic solutions of a boundary value problem for an anisotropic fourth-order equation // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 2. C. 48-56. EDN: BYRGNS. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-2-48-56.

Финансирование. Работа выполнена без поддержки грантов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: a_v_yuldasheva@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Yuldasheva A. V., Sharipova S. A., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Modern Methods in the Theory of Boundary Value Problems. M.: MAKS Press, 2018. 296 pp. (In Russian)
  2. Ptashnik B. I. Ill-Posed Boundary Value Problems for Partial Differential Equations. Kyiv: Naukova Dumka, 1984. 264 pp. (In Russian)
  3. Yakubov S. and Yakubov Ya. Differential-Operator Equations: Ordinary and Partial Differential Equations. N.Y.: Chapman & Hall/CRC, 2000. 700 pp.
  4. Mikhailets V. A. and Molyboga N. M.On boundary value problems for differential-operator equations, Ukrainian Mathematical Journal, 2016. vol. 68, no. 6, pp. 846— 861.
  5. Ntouyas S.K. Nonlocal Initial and Boundary Value Problems: A Survey / Handbook of Differential Equations: Ordinary Differential Equations. N.Y., Elsevier B.V., 2008, pp. 461-557.
  6. Strikwerda John C. Well-Posed and Stable Initial-Boundary Value Problems / Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, Second Edition. e-book, SIAM, 2004, pp. 275-310.
  7. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem for the vibrating string equation, Bull. Amer. Math. Soc., 1939. vol. 45, no. 12, pp. 851–858.
  8. Alimov Sh. A.On Lp-solutions of a boundary value problem, Uzb. Math. J., 1999. №1, С. 3–9 (In Russian).
  9. Alimov Sh. A.On solvability of an ill-posed problem, Uzb. Math. J., 1999. no. 3, pp. 19–29 (In Russian).
  10. Yuldasheva A. V.On solvability of the boundary value problem for one even-order equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2016. vol. 12, no. 1, pp. 35–40 DOI:10.18454/2079-6641-2016-12-1-41-47.
  11. Yuldasheva A. V.On stability of a boundary value problem for an even-order equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. nauki, 2015. vol. 10, no. 1, pp. 5-11 DOI:10.18454/2079-6641-2015-10-1-5-11 (In Russian).
  12. Yuldasheva A. V., Sharipova S. A. Analysis of boundary value problems for partial differential equation of the fourth order / Differential and difference equations, Abstracts of Russian-Chinese Conference (Novosibirsk, 2025), Abstracts. Novosibirsk, Novosibirsk State University, 2025, pp. 155.
  13. Shidlovsky A. B. Transcendental Numbers. M.: Nauka, 1987. 447 pp. (In Russian)
  14. Roth K. F. Rational approximation to algebraic numbers, Mathematika, 1955. vol. 2, pp. 1–20.
  15. Khintschin A. Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen, Math. Zeit., 1926. vol. 24, no. 4, pp. 706–714.

Инфоромация об авторах

Юлдашева Асал Викторовна – доктор физико-математических наук, профессор филиала М.В. Московский государственный университет имени Ломоносова, Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0001-6861-8331.

Шарипова Салибхан Арисланбаевна – аспирант, Национальный университет Узбекистана, Ташкент, Узбекистан, ORCID 0009-0000-5900-0345.

Читать статьюСкачать