Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 6-15. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО
ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В. А. Водахова, М. С. Балкизова

Кабардино-Балкарский государственный университет, 360005, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 175

E-mail: Bmadina1980@yandex.ru

В работе исследована краевая задача для модельного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка. Доказана теорема о единственности и существовании регулярного решения исследуемой задачи. Решение исследуемой задачи выписано в явном виде.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, уравнение Аллера, уравнение третьего порядка с кратными характеристиками, метод Трикоми

©Водахова В. А., Балкизова M. C., 2019

MATHEMATICS

MSC 35M12

A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH DISPLACEMENT FOR A MODEL EQUATION OF A PARABOLIC-HYPERBOLIC TYPE OF THE THIRD ORDER

V. A. Vodahova, M. S. Balkizova

Kabardino-Balkarian State University, 360005, Nalchik, Chernishevskogo st., 175, Russia
E-mail: Bmadina1980@yandex.ru

In this paper, a boundary value problem for a model inhomogeneous mixed parabolic-hyperbolic type equation of third order is investigated. A theorem on uniqueness and the existence of a regular solution of the problem under investigation is proved. The solution of the investigated problem is written out in an explicit form.

Key words: mixed type equation, Aller equation, third-order equation with multiple characteristics, Tricomi method.

©Vodahova V. A., Balkizova M. S., 2019

Список литературы/References

  1. Нахушев А.М., Уравнения математической биологии, «Высшая школа», М., 1995, 301 с. [Nahushev A.M., Uravneniya matematicheskoj biologii, «Vysshaya shkola», M., 1995, 301 pp., (in Russian)].
  2. Джураев Т.Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, «ФАН», Ташкент, 1979, 236 с. [Dzhuraev T.D., Kraevye zadachi dlya uravnenij smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov, «FAN», Tashkent, 1979, 236 pp., in Russian].
  3. Красильников В.А., Кузнецов В.П, “Распространение нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации”, Акустический журнал, 3:20 (1974), 473–477. [Krasilnikov V. A., Kuznetsov V.G., “Rasprostraneniye nelineynykh zvukovykh voln v zhidkosti pri kavitatsii”, Akkusticheskiy zhurnal, 3:20 (1974), 473–477, (in Russian)]].
  4. Карпман В. И., Нелинейные волны в диспергирующих средах, «Наука», М., 1973, 175 с. [Karpman V. I., Nelineynyye volny v dispergiruyushchikh sredakh, «Nauka», M., 1973, 175 pp., (in Russian)].
  5. Иргашев Ю., Сборник научных трудов «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения», «ФАН», Ташкент, 1976, 17–31 с. [Irgashev Yu., Sbornik nauchnykh trudov «Krayevyye zadachi dlya differentsial’nykh uravneniy i ikh prilozheniya», «FAN», Tashkent., 1976, 17–31 pp., (in Russian)].
  6. Джураев Т. Д., Абдиназаров С., “Краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками”, Известия АН Узбекской ССР, 1 (1981), 8–11. [Juraev T. D., Abdinazarov S., “Krayevyye zadachi tipa zadachi Bitsadze-Samarskogo dlya uravneniy tret’yego poryadka s kratnymi kharakteristikami”, Izvestiya Akademii nauk Uzbekskoy SSR, 1 (1981), 8–11, (in Russian)].
  7. Абдиназаров С., “Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками”, Дифференц. уравнения, 17:1 (1981), 3–12. [Abdinazarov S., “Obshchiye krayevyye zadachi dlya uravneniya tret’yego poryadka s kratnymi kharakteristikami”, Differencialnie uravneniya, 17:1 (1981), 3–12, (in Russian)].
  8. Hallaire M., “Potential efficace de l’eau dans le sol en regime de dess echement”, Assemblee generale de Berkeley General Assembly of Berkeley, 1963, № 62, 114–122.
  9. Нахушев А.М., Задачи со смещением для уравнений в частных производных, «Наука», М., 2006, 287 с. [Nahushev A.M., Zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniy v chastnykh proizvodnykh, «Nauka», M., 2006, 287 pp., (in Russian)].
  10. Макаова Р. Х., “Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера”, Вестник КРАУНЦ, 2016, № 4(16), 45–49. [Makaova R. Kh., “Pervaya krayevaya zadacha dlya neodnorodnogo uravneniya Allera”, Vestnik KRAUNTS, 2016, № 4 (16), 45–49, (in Russian)].
  11. Yangarber V. A., “The mixed problem for a modified moisture-transfer equation”, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 8:1 (1967), 62–64.
  12. Макаова Р. Х., “Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана–Лиувилля”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 35–38. [Makaova R. Kh., “Vtoraya krayevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoy proizvodnoy Rimana–Liuvillya”, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:3 (2015), 35–38, (in Russian)].
  13. Colton D., “Pseudoparabolic equations in one space variable”, Journal of Differential Equations, 12:559–565 (1972), 62–64.
  14. Нахушев А. М., “Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод”, Дифференц. уравнения, 18:1 (1982), 72–81. [Nakhushev A. M., “Ob odnom priblizhennom metode resheniya krayevykh zadach dlya differentsial’nykh uravneniy i yego prilozheniya k dinamike pochvennoy vlagi i gruntovykh vod”, Differentsial’nyye uravneniya, 18:1 (1982), 72–81, (in Russian)].
  15. Водахова В. А., “Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса”, Дифференц. уравнения, 18:2 (1982), 280–285. [Vodakhova V. A., “Krayevaya zadacha s nelokal’nym usloviyem A. M. Nakhusheva dlya odnogo psevdoparabolicheskogo uravneniya vlagoperenosa”, Differentsial’nyye uravneniya, 18:2 (1982), 280–285, (in Russian)].
  16. Водахова В. А., “Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М. Нахушева”, Дифференц. уравнения, 19:1 (1983), 163–166. [Vodakhova V. A., “Ob odnoy krayevoy zadache dlya uravneniya tret’yego poryadka s nelokal’nym usloviyem A.M. Nakhusheva”, Differentsial’nyye uravneniya, 19:1 (1983), 163–166, (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 c.
  2. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: «ФАН», 1979. 236 c.
  3. Красильников В. А., Кузнецов В. П. Распространение нелинейных звуковых волн в жидкости при кавитации // Акустический журнал. 1974. T. 3. №20. 473–477.
  4. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: «Наука», 1973. 175 c.
  5. Иргашев Ю. Сборник научных трудов «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения». Ташкент: «ФАН», 1976. C. 17–31.
  6. Джураев Т. Д., Абдиназаров С. Краевые задачи типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Известия АН Узбекской ССР. 1981. №1. С. 8–11.
  7. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. №1. С. 3–12.
  8. Hallaire M. Potential efficace de l’eau dans le sol en regime de dess echement // Assemblee generale de Berkeley General Assembly of Berkeley. 1963. no. 62. pp. 114–122.
  9. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: «Наука». 2006. 287 c.
  10. Макаова Р. Х. Первая краевая задача для неоднородного уравнения Аллера // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2016. №4(16). С. 45–49.
  11. Yangarber V. A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation//Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1967. vol. 8. no. 1. pp. 62–64.
  12. Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана–Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. №3. С. 35–38.
  13. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Journal of Differential Equations. 1972. vol. 12. no. 559–565. pp. 62–64.
  14. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №1 . С. 72–81.
  15. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №2. С. 280–285.
  16. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А.М. Нахушева//Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №1. С. 163–166.

Для цитирования: Водахова В. А., Балкизова M. C. Краевая задача для модельного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 28. № 3. C. 6-15. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15
For citation: Vodahova V. A., Balkizova M. S. A boundary value problem with displacement for a model equation of a parabolic-hyperbolic type of the third order, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 28: 3, 6-15. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-28-3-6-15

Поступила в редакцию / Original article submitted: 19.07.2019


Водахова Валентина Аркадьевна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры aлгебры и дифференциальных уравнений, институт физики и математики, Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия.
Vodakhova Valentina Arkadevna – Ph.D. (Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Department of Algebra and Differential Equations, Institute of Physics and Mathematics, Kabardino-Balkarian State University, Nalchik, Russia.


Балкизова Мадина Славиковна – магистрант второго года кафедра алгебры и дифференциальных уравнений обучения, институт физики и математики Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик, Россия.
Balkizova Madina Slavikovna – Second-year undergraduate, Department of Algebra and Differential Equations of Education, Institute of Physics and Mathematics, Kabardino-Balkarian State University, Nalchik, Russia.