Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 43. №2. C. 87-110. ISSN 2079-6641

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-87-110
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 519.642.2, 519.687.1

Содержание выпуска

Read English Version 

Распараллеливание численного алгоритма решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного переменного порядка с помощью технологии OpenMP

Д. А. Твёрдый¹², Р. И. Паровик¹²^\ast, А. Р. Хаётов³, А. К. Болтаев³

¹ФГБОУ ВО Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, Россия, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4.

²ФГБУН Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Россия, 684034, c. Паратунка, ул.Мирная, д. 7.

³Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Узбекистан, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, д. 9.

Аннотация. В статье представлена программная реализация параллельного эффективного и быстрого вычислительного алгоритма решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного переменного порядка. Вычислительный алгоритм основан на нелокальной явной конечно-разностной схеме с учетом аппроксимации дробной производной VO Герасимова-Капуто, входящей в основное дифференциальное уравнение. Алгоритмы распараллеливания нелокальной явной конечно-разностной схемы были реализованы в виде функций пользовательской библиотеки языка программирования C с использованием технологии OpenMP. Технология OpenMP позволяет реализовывать параллельные алгоритмы для работы с вычислительным узлом CPU, используя его многопоточность. Язык C выбран из-за его универсальности и отсутствия в нем строгих ограничений при работе с памятью. Далее в работе исследуется эффективность параллельного алгоритма. Под эффективностью понимается оптимальное соотношение в координатах: ускорение вычислений – объём занимаемой RAM памяти, по сравнению с последовательной версией алгоритма. Анализируется
среднее время вычисления в терминах: время работы, ускорение, эффективность и стоимость алгоритма. Данные алгоритмы были запущены на двух различных вычислительных системах: игровом ноутбуке и вычислительном сервере. Для нелокальной явной схемы показан существенный прирост производительности в 3-5 раз при различных методах программной реализации.

Ключевые слова: дробные производные, эредитарность, эффект памяти, явные конечно-разностные схемы, параллельные вычисления, OpenMP

Получение: 02.06.2023; Исправление: 09.06.2023; Принятие: 20.06.2023; Публикация онлайн: 30.06.2023

Для цитирования. Tverdyi D. A., Parovik R. I., Hayotov A. R., Boltaev A. K. Parallelization of a numerical algorithm
for solving the Cauchy problem for a nonlinear differential equation of fractional variable order using OpenMP technology // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 43. № 2. C. 87-110. EDN: WFDGQO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-43-2-87-110.

Финансирование. Исследования выполнены рамках гранта Президента РФ МД-758.2022.1.1 по теме «Развитие
математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с
насыщением».

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: romanparovik@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Tverdyi D. A., Parovik R. I., Hayotov A. R., Boltaev A. K., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Acioli P. S., Xavier F. A., Moreira D. M. Mathematical Model Using Fractional Derivatives Applied to the Dispersion of Pollutants in the Planetary Boundary Layer, Boundary-Layer Meteorology, 2019, vol. 170, no. 2, pp. 285–304. DOI: 10.1007/s10546-018-0403-1.
2. Aslam M., Farman M., Ahmad H., Gia T. N., Ahmad A., Askar S. Fractal fractional derivative on chemistry kinetics hires problem, AIMS Mathematics, 2021, vol. 7, no. 1, pp. 1155–1184. DOI: 10.3934/math.2022068.
3. Jamil B., Anwar M. S., Rasheed A., Irfan M. MHD Maxwell flow modeled by fractional derivatives with chemical reaction and thermal radiation, Chinese Journal of Physics, 2020, vol. 67, pp. 512–533. DOI: 10.1016/j.cjph.2020.08.012.
4. Fellah M., Fellah Z. E. A., Mitri F., Ogam E., Depollier C. Transient ultrasound propagation in porous media using Biot theory and fractional calculus: Application to human cancellous bone, The Journal of the Acoustical Society of America, 2013, vol. 133, no. 4, pp. 1867–1881. DOI: 10.1121/1.4792721.
5. Chen W. An Intuitive Study of Fractional Derivative Modeling and Fractional Quantum in Soft Matter, Journal of Vibration and Control, 2008, vol. 14, no. 9–10, pp. 1651–1657. DOI: 10.1177/1077546307087398.
6. Garrappa R. Numerical Solution of Fractional Differential Equations: A Survey and a Software Tutorial, Mathematics, 2018, vol. 6, no. 2:16, pp. 1–23. DOI: 10.3390/math6020016.
7. Bohaienko V. Parallel algorithms for modelling two-dimensional non-equilibrium salt transfer processes on the base of fractional derivative model, Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018, vol. 21, no. 3, pp. 654–671. DOI: 10.1515/fca-2018-0035.
8. Bogaenko V. A., Bulavatskiy V. M., Kryvonos I. G. On Mathematical modeling of Fractional-Differential Dynamics of Flushing Process for Saline Soils with Parallel Algorithms Usage, Journal of Automation and Information Sciences, 2016, vol. 48, no. 10, pp. 1–12. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i10.10.
9. Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems, Applied Mathematics and Mechanics, 1948, vol. 12, pp. 529–539.
10. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II, Geophysical Journal International, 1946, vol. 13, no. 5, pp. 529–539. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x3.
11. Sanders J., Kandrot E. CUDA by Example: An Introduction to General-Purpose GPU Programming. London, Addison-Wesley Professional, 2010, 311 pp.
12. Bogaenko V. O. Parallel finite-difference algorithms for three-dimensional space-fractional diffusion equation with phi–Caputo derivatives, Computational and Applied Mathematics, 2020, vol. 39, no. 163, pp. 1–20. DOI: 10.1007/s40314-020-01191-x.
13. Machado J. T., Kiryakova V., Mainardi F. Recent history of fractional calculus, Communications in nonlinear science and numerical simulation, 2011, vol. 16, no. 3, pp. 1140–1153. DOI: 10.1016/j.cnsns.2010.05.027.
14. Patnaik S., Hollkamp J.P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: a review, Proceedings of the Royal Society A, 2020, vol. 476, no. 2234, pp. 20190498. DOI: 10.1098/rspa.2019.0498.
15. Ortigueira M. D., Valerio D., Machado J. T. Variable order fractional systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019, vol. 71, pp. 231–243. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.12.003.
16. Tverdyi D. A. The Cauchy problem for the Riccati equation with variable power memory and non-constant coeffcients, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 148–157. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-148-157.
17. Borzunov S. V., Kurgalin S. D., Flegel A. V. Praktikum po parallel’nomu programmirovaniyu: uchebnoe posobie [Workshop on Parallel Programming: A Study Guide]. Saint Petersburg: BVH, 2017, 236 pp., isbn: 978-5-9909805-0-1 (In Russian).
18.  Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Elsevier Science Limited, 2006, 523 pp., isbn: 9780444518323.
19. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation, Fractal and Fractional, 2022, vol. 6(1), no. 23, pp. 1–27. DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
20. Tvyordyj D. A. Hereditary Riccati equation with fractional derivative of variable order, Journal of Mathematical Sciences, 2021, vol. 253, no. 4, pp. 564–572. DOI: 10.1007/s10958-021-05254-0.
21. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect, Fractal and Fractional, 2022, vol. 6(3), no. 163, pp. 1–35. DOI: 10.3390/fractalfract6030163.
22. Daintith J., Wright E. A Dictionary of Computing. Oxford, Oxford University Press, 2008, 583 pp., isbn: 9780191726576. DOI: 10.1093/acref/9780199234004.001.0001.
23. Miller R., Boxer L. Algorithms Sequential and Parallel: A Unified Approach. 3rd edition. Boston, Cengage Learning, 2013, 417 pp., isbn: 978-1133366805.
24. Rauber T., Runger G. Parallel Programming for Multicore and Cluster Systems. 2nd edition. New York, Springer, 2013, 516 pp., isbn: 978-3-642-37800-3.
25. Al-hayanni M. A. N., Xia F., Rafiev A., Romanovsky A., Shafik R., Yakovlev A. Amdahl’s Law in the Context of Heterogeneous Many-core Systems — ASurvey, IET Computers & Digital Techniques, 2020, vol. 14, no. 4, pp. 133–148. DOI: 10.1049/iet-cdt.2018.5220.
26. Okrepilov V. V., Makarov V. L., Bakhtizin A. R., Kuzmina S. N. Application of Supercomputer Technologies for Simulation of Socio-Economic Systems, R-Economy, 2015, vol. 1, no. 2, pp. 340–350. DOI: 10.15826/recon.2015.2.016.
27. Il’in V.P., Skopin I. N. About performance and intellectuality of supercomputer modeling, Programming and Computer Software, 2016, vol. 42, no. 1, pp. 5–16. DOI: 10.1134/S0361768816010047.
28. Parovik R. I. On the numerical solution of equations fractal oscillator with variable order fractional of time, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2014, vol. 8, no. 1, pp. 60–65. DOI: 10.18454/2079-6641-2014-8-1-60-65.
29. Parovik R. I. Mathematical models of oscillators with memory, Oscillators-Recent Developments, 2019, pp. 3–21. DOI: 10.5772/intechopen.81858.
30. Volterra V. Theory of functionals and of integral and integro-differential equations: [Unabridged republication of the first English translation]. New York, Dover publications, 1959, 226 pp.
31. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory. Berlin, Springer, 2013, 373 pp., isbn: 978-3-642-33911-0. DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0.
32. Tverdyi D. A., Makarov E. O., Parovik R. I. Hereditary Mathematical Model of the Dynamics of Radon Accumulation in the Accumulation Chamber, Mathematics, 2023, vol. 11, no. 4:850, pp. 1–20. DOI: 10.3390/math11040850.
33. Jeng S., Kilicman A. Fractional Riccati Equation and Its Applications to Rough Heston Model Using Numerical Methods, Symmetry, 2020, vol. 12. DOI: 10.3390/sym12060959.
34. Sun H., et al. Finite difference schemes for variable-order time fractional diffusion equation, International Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, vol. 22, no. 04, pp.1250085. DOI: 10.1142/S021812741250085X.
35. Parovik R. I. On a finite-difference scheme for an hereditary oscillatory equation, Journal of Mathematical Sciences, 2021, vol. 253, no. 4, pp. 547–557. DOI: 10.1007/s10958-021-05252-2.
36. Kalitkin N. N. Chislennye metody. 2-e izd. [Numerical methods. 2nd ed.]. Saint Petersburg: BVH, 2011, 592 pp., isbn: 978-5-9775-0500-0 (In Russian).
37. Brent R.P. The parallel evaluation of general arithmetic expressions, Journal of the Association for Computing Machinery, 1974, vol. 21, no. 2, pp. 201–206. DOI: 10.1145/321812.321815.
38. Corman T. H., Leiserson C. E., Rivet R. L., Stein C. Introduction to Algorithms, 3rd Edition. Cambridge, The MIT Press, 2009, 1292 pp., isbn: 978-0262033848.
39. Shao J. Mathematical Statistics. 2-ed. New York, Springer, 2003, 592 pp., isbn: 978-0-387-95382-3.
40. Gergel V.P., Strongin R. G. Vysokoproizvoditel’nye vychisleniya dlya mnogoyadernyh mnogoprocessornyh sistem. Uchebnoe posobie [High performance computing for multi-core multiprocessor systems. study guide]. Moscow: MGU publishing, 2010, 544 pp.,(In Russian).

---

Информация об авторах

---

---

---

---