Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 49. №4. C. 135-156. ISSN 2079-6641

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-49-4-135-156
Научная статья
на Русском языке

УДК 519.6; 517.972.7; 519.642.2

Содержание выпуска

Read English Version

Некоторые аспекты реализации программного комплекса PRPHMM 1.0 для уточнения параметров эредитарных математических моделей переноса радона в накопительной камере

Д. А. Твёрдый¹^{\ast}, Е. О. Макаров²

¹Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, c. Паратунка, ул.Мирная, д. 7, Россия
²Камчатский филиал Федерального исследовательского центра «Единая геофизическая служба РАН», 683023, г. Петропавловск-Камчатский, ул. бульвар Пийпа, д.9, Россия

Аннотация. Математические модели некоторых динамических процессов можно существенно уточнить, используя в них производные и интегралы нецелого порядка, учитывая эффекты, которые не описать с помощью обыкновенных производных. Так, например, с помощью дробных производных Герасимова-Капуто постоянного и переменного порядка можно учитывать эффект памяти в модели процесса, а порядок производной будет связан с интенсивностью процесса. В частности, авторами ранее разработана эредитарная α-модель объемной активности радона, где параметр α связан с проницаемостью среды. Однако возникает вопрос об определении оптимальных значений как α, так и других параметров модели. Для решения проблемы можно решать обратную задачу — распространенный тип задач во многих научных областях, где необходимо определить значения параметров модели на основе наблюдаемых данных, но невозможно провести прямые измерения этих параметров. Необходимость такого подхода часто возникает при работе с геологическими данными. В статье описывается программная реализация программного комплекса PRPHMM 1.0, способного восстанавливать оптимальные значения эредитарных математических моделей на основе производной Герасимова-Капуто. Адаптирован и реализован на языке MATLAB алгоритм безусловной оптимизации ньютоновского типа Левенберга-Марквардта. Реализованы подпрограммы для чтения, обработки и визуализации экспериментальных и модельных данных. Приводится тестовый пример, решающий на основе экспериментальных данных радонового мониторинга обратную задачу для эредитарной α-модели на параметры α и λ0-коэффициент воздухообмена. Показано, что PRPHMM 1.0 позволяет для эредитарных математических моделей на восстанавливать значения параметров, близкие к оптимальным.

Ключевые слова: математическое моделирование, дробные производные, Герасимов- Капуто, эффект памяти, нелокальность, нелинейные уравнения, обратные задачи, безусловная оптимизация, алгоритм Левенберга–Марквардта, MATLAB.

Получение: 02.11.2024; Исправление: 10.11.2024; Принятие: 24.11.2024; Публикация онлайн: 28.11.2024

Для цитирования. Твёрдый Д. А., Макаров Е. О. Некоторые аспекты реализации программного комплекса PRPHMM 1.0 для уточнения параметров эредитарных математических моделей переноса радона в накопительной камере // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 49. № 4. C. 135-156. EDN: FMWIIQ. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-49-4-135-156.

Финансирование. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00064, https://rscf.ru/project/22-11-00064/.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: tverdyi@ikir.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Твёрдый Д. А., Макаров Е. О., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с.
  2. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers, Background and Theory, vol. I. Berlin/Heidelberg: Springer, 2013. 373 pp.  DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0.
  3.  Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, 1st ed.. Amsterdam: Elsevier Science Limited, 2006. 523 pp.
  4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  5. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect // Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 3, pp. 163 DOI: 10.3390/fractalfract6030163.
  6. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Fractional Riccati equation to model the dynamics of COVID-19 coronavirus infection // Journal of Physics: Conference Series, 2021. vol. 2094, pp. 032042 DOI: 10.1088/1742-6596/2094/3/032042.
  7. Tverdyi D. A., Makarov E. O., Parovik R. I. Hereditary Mathematical Model of the Dynamics of Radon Accumulation in the Accumulation Chamber // Mathematics, 2023. vol. 11, no. 4, pp. 850 DOI: 10.3390/math11040850.
  8. Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications //Acta Mathematica, 1912. vol. 35, no. 1, pp. 295–356 DOI: 10.1007/BF02418820.
  9. Parovik R. I. Tverdyi D. A. Some Aspects of Numerical Analysis for a Model Nonlinear Fractional Variable Order Equation // Mathematical and Computational Applications, 2021. vol. 26, no. 3, pp. 55 DOI: 10.3390/mca26030055.
  10. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation //Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 1, pp. 23 DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
  11. Твёрдый Д. А., Макаров Е. О., Паровик Р. И. Идентификация параметров математической α-модели переноса радона в накопительной камере по данным пункта Карымшина на Камчатке // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2024. Т. 48, №3, С. 95-119 DOI: 10.26117/2079- 6641-2024-48-3-95-119.
  12. Tarantola A. Inverse problem theory: methods for data fitting and model parameter estimation. Amsterdam and New York: Elsevier Science Pub. Co., 1987. 613 pp. ISBN 0444427651.
  13. Lailly P. The seismic inverse problem as a sequence of before stack migrations // Conference on Inverse Scattering, Theory and application, 1983, pp. 206–220.
  14. Фирстов П. П., Макаров Е. О. Динамика подпочвенного радона на Камчатке и сильные землетрясения. Петропавловск-Камчатский: Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, 2018. 148 с. ISBN 978-5-7968-0691-3.
  15. Фирстов П. П., Рудаков В. П.Результаты регистрации подпочвенного радона в 1997–2000 гг. на Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне // Вулканология и сейсмология, 2003. №1, С. 26–41.
  16. Utkin V. I., Yurkov A.K. Radon as a tracer of tectonic movements // Russian Geology and Geophysics, 2010. vol. 51, no. 2, pp. 220–227 DOI: 10.1016/j.rgg.2009.12.022.
  17. Бирюлин С. В., Козлова И. А., Юрков А. К. Исследование информативности объемной активности почвенного радона при подготовке и реализации тектонических землетрясений на примере Южно-Курильского региона // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле, 2019. Т. 4, №44, С. 73–83 DOI: 10.31431/1816-5524-2019-4-44-73-83.
  18. Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction problems // Applied Mathematics and Mechanics, 1948. vol. 12, pp. 529–539.
  19. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II // Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, no. 5, pp. 529–539 DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x.
  20. Dennis J. E., Robert Jr., Schnabel B. Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. Philadelphia: SIAM, 1996. 394 pp. ISBN 9781611971200
  21.  Gill P. E., Murray W., Wright M. H. Practical Optimization. Philadelphia: SIAM, 2019. 421 pp.
  22. Levenberg K.A method for the solution of certain non-linear problems in least squares // Quarterly of applied mathematics, 1944. vol. 2, no. 2, pp. 164–168 DOI: 10.1090/qam/10666.
  23. Marquardt D.W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters // Journal of the society for Industrial and Applied Mathematics, 1963. vol. 11, no. 2, pp. 431–441 DOI: 10.1137/0111030.
  24. Твёрдый Д. А., Паровик Р. И.О задаче оптимизации для определения вида функциональной зависимости переменного порядка дробной производной типа Герасимова-Капуто // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2024. Т. 47, №2, С. 35–57 DOI: 10.26117/2079-6641-2024-47-2-35-57.
  25. Ford W. Numerical linear algebra with applications: Using MATLAB, 1st edition. Massachusetts: Academic Press, 2014. 628 pp. ISBN 978-0123944351 DOI: 10.1016/C2011-0-07533-6.

Информация об авторах

Твёрдый Дмитрий Александрович – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории элетромагнитных излучений, Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Россия, ORCID 0000-0001-6983-5258.

Макаров Евгений Олегович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории акустического и радонового мониторинга, Камчатский филиал федерального исследовательского центра «Единая геофизическая служба РАН г. Петропавловск-Камчатский, Россия, ORCID 0000-0002-0462-3657.

Читать статьюСкачать статью