Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 46. №1. C. 103-117. ISSN 2079-6641

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-103-117

Научная статья

Полный текст на русском языке

УДК 519.642.2, 519.687.1

Содержание выпуска

Read English Version

Применение высокопроизводительных вычислений для решения задачи Коши с дробным уравнением Риккати по нелокальной неявной конечно-разностной схеме

Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик^\ast

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, c. Паратунка, ул. Мирная, д. 7., Россия

Аннотация. В статье представлено исследование вычислительной эффективности параллельной версии численного алгоритма для решения уравнения Риккати с производной дробного перменного порядка типа Герасимова-Капуто. Численный алгоритм представляет собой нелокальную неявную конечно-разностную схему, которая сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений и решается с помощью модифицированного метода Ньютона. Нелокальность численной схемы создает высокую вычислительную нагрузку на вычислительные ресурсы, из-за чего возникает необходимость в реализации эффективных параллельных алгоритмов их решения. Исследуемый на эффективность численный алгоритм реализован на языке C из-за его универсальности при работе с памятью. Распаралеливание проводилось с помощью технологии OpenMP. Проводится серия вычислительных экспериментов на вычислительном сервере NVIDIA DGX STATION (Институт математики имени В.И. Романовского, г. Ташкент, Узбекистан) и ноутбуке HP Pavilion Gaming Laptop Z270X, где решалась задача Коши для дробного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами. На основе среднего времени вычисления вычисляются: ускорение, эффективность и стоимость алгоритма. Из анализа данных видно, что OpenMP параллельная программная реализация нелокальной неявной конечно-разностной схемы показывает ускорение работы от 9-12 раз в зависимости от количества задействованных ядер CPU.

Ключевые слова: параллельные вычисления, OpenMP, неявные конечно-разностные схемы, метод Ньютона, дробные производные, эффект памяти, нелокальность, нелинейность

Получение: 18.01.2024; Исправление: 18.02.2024; Принятие: 07.03.2024; Публикация онлайн: 07.03.2024

Для цитирования. Твёрдый Д. А., Паровик Р. И. Применение высокопроизводительных вычислений для решения задачи Коши с дробным уравнением Риккати по нелокальной неявной конечно-разностной схеме // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 46. № 1. C. 103-117. EDN: GNJWJM. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-103-117.

Финансирование. Исследования выполнены в рамках гранта РНФ № 22-11-00064 по теме «Моделирование динамических процессов в геосферах с учетом наследственности»(https://rscf.ru/project/22-11-00064/).

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: romanparovik@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License © Твёрдый Д. А., Паровик Р. И., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I. Background and Theory. Berlin: Springer, 2013. 373 pp. ISBN 978-3-642-33911-0 DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0.
  2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с. ISBN 5-9221-0440-3.
  3. Parovik R. I. Mathematical models of oscillators with memory, Oscillators-Recent Developments, 2019, pp. 3–21 DOI: 10.5772/intechopen.81858.
  4. Volterra V. Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications,Acta Mathematica, 1912. vol. 35, no. 1, pp. 295–356 DOI: 10.1007/BF02418820.
  5. Patnaik S., Hollkamp J.P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: a review, Proceedings of the Royal Society A, 2020. vol. 476, no. 2234, pp. 20190498 DOI: 10.1098/rspa.2019.0498.
  6. Ortigueira M. D., Valerio D., Machado J. T.Variable order fractional systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. vol. 71, pp. 231–243 DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.12.003.
  7. Petras I. Fractional-order nonlinear systems: modeling, analysis and simulation. Berlin, Germany: Beijing and Springer-Verlag, 2011. 218 pp. ISBN 9783642181009.
  8. Sun H., Chang A., Zhang Y., Chen W.A review on variable-order fractional differential equations: mathematical foundations, physical models, numerical methods and applications, Fractional Calculus and Applied Analysis, 2019. vol. 22, no. 1, pp. 27–59 DOI: 10.1515/fca-2019-0003.
  9. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results, Applied Mechanics Reviews, 2010. vol. 63, no. 1, pp. 1–5 DOI: 10.1115/1.4000563.
  10. Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelastisity: An Introduction to Mathematical Models. 2nd edition. Singapore: World Scientific Publishing Company, 2022. 625 pp. ISBN 1783263989 DOI: 10.1142/p926.
  11. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation,Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 1:23, pp. 1–27 DOI: 10.3390/fractalfract6010023.
  12. Volterra V. Theory of functionals and of integral and integro-differential equations. New York: Dover publications, 1959. 226 pp.
  13. Tverdyi D. A., Parovik R. I., Hayotov A. R., Boltaev A. K.Parallelization of a Numerical Algorithm for Solving the Cauchy Problem for a Nonlinear Differential Equation of Fractional Variable Order Using OpenMP Technology, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2023. vol. 43, no. 2, pp. 87–110 DOI: 10.26117/2079-6641-2023-43-2-87-11.
  14. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Hybrid GPU-CPU efficient implementation of a parallel numerical algorithm for solving the Cauchy problem for a nonlinear differential Riccati equation of fractional variable order, Mathematics, 2023. vol. 11, no. 15:3358, pp. 1–21 DOI: 10.3390/math11153358.
  15. Борзунов С.В., Кургалин С. Д., Флегель А. В. Практикум по параллельному программированию: учебное пособие. Санкт-Петербург: БХВ, 2017. 236 с. ISBN 978-5-9909805-0-1.
  16. Калиткин Н. Н. Численные методы. 2-е изд.. Санкт–Петербург: БХВ, 2011. 592 с. ISBN 978-5-9775-0500-0.
  17. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  18. Parovik R. I. Tverdyi D. A. Some Aspects of Numerical Analysis for a Model Nonlinear Fractional Variable Order Equation, Mathematical and Computational Applications, 2021. vol. 26, no. 3, pp. 55 DOI: 10.3390/mca26030055.
  19. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect,Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 3:163, pp. 1–35 DOI: 10.3390/fractalfract6030163.
  20. Parovik R. I. On a Finite-Difference Scheme for an Hereditary Oscillatory Equation, Journal of Mathematical Sciences, 2021. vol. 253, no. 4, pp. 547-557 DOI: 10.1007/s10958-021-05252-2.
  21. Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to internal friction
    problems, Applied Mathematics and Mechanics, 1948. vol. 12, pp. 529–539.
  22. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II, Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, no. 5, pp. 529–539 DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x.
  23. Jeng S., Kilicman A. Fractional Riccati Equation and Its Applications to Rough Heston Model Using Numerical Methods, Symmetry, 2020. vol. 12, pp. 1–20 DOI: 10.3390/sym12060959.
  24. Tverdyi D. A., Parovik R. I., Makarov E. O., Firstov P.P. Research of the process of radon accumulation in the accumulating chamber taking into account the nonlinearity of its entrance, E3S Web Conference, 2020. vol. 196, no. 02027, pp. 1–6 DOI: 10.1051/e3sconf/202019602027.
  25. Tverdyi D. A., Makarov E. O., Parovik R. I. Hereditary Mathematical Model of the Dynamics of Radon Accumulation in the Accumulation Chamber, Mathematics, 2023. vol. 11, no. 4:850, pp. 1–20 DOI: 10.3390/math11040850.
  26. Brent R.P. The parallel evaluation of general arithmetic expressions, Journal of the Association for Computing Machinery, 1974. vol. 21, no. 2, pp. 201–206 DOI: 10.1145/321812.321815.
  27. Corman T. H., Leiserson C. E., Rivet R. L., Stein C. Introduction to Algorithms, 3rd Edition. Cambridge: The MIT Press, 2009. 1292 pp. ISBN 978-0262033848.
  28. Shao J. Mathematical Statistics. 2-ed. New York: Springer, 2003. 592 pp. ISBN 978-0-387-95382-3.

Информация об авторах

Твёрдый Дмитрий Александрович – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории элетромагнитных излучений, Институт космофизических исследований ираспространения радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Россия, ORCID 0000-0001-6983-5258.

Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделировании физических процессов, Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, с. Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.

Читать статьюСкачать статью