Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 48. №3. C. 33 — 42. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-48-3-33-42
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.958

Содержание выпуска

Read English Version

Задача типа Бицадзе-Самарского для уравнения диффузии и вырождающегося гиперболического уравнения

М. Х. Рузиев¹^{\ast}, Р.Т. Зуннунов², Н.Т. Юлдашева¹, Г. Б. Рахимова³

¹Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 9, Узбекистан
²Филиал Российского государственного университета нефти и газа (НИУ) имени И. М. Губкина в г. Ташкенте, 100125, г. Ташкент, улица Дурмон йули, 34, Узбекистан
³Ферганский государственный университет, 150100, г. Фергана, улица Мураббийлар, 19, Узбекистан

Аннотация. В статье изучается краевая задача типа Бицадзе-Самарского для дробного уравнения диффузии и вырождающегося гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами при младших членах в неограниченной области. В статье рассматривается смешанная область, в которой параболическая часть рассматриваемой области совпадает с верхней полуплоскостью, а гиперболическая часть ограничена двумя характеристиками рассматриваемого уравнения и отрезком оси абсцисс. Единственность решения рассматриваемой задачи доказывается методом интегралов энергии. Существование решения рассматриваемой задачи сводится к понятию разрешимости дробного дифференциального уравнения. Приводится явный вид решения модифицированной задачи Коши в гиперболической части рассматриваемой смешанной области. С помощью этого решения в силу граничного условия задачи получена основная функциональная связь между следами неизвестной функции, приведенными на интервал линии вырождения уравнения. Далее, используя представление решения уравнения диффузии дробного порядка, получено второе основное функциональное соотношение между следами искомой функции на отрезке оси абсцисс из параболической части рассматриваемой смешанной области. Через условие сопряжения исследуемой задачи из двух функциональных соотношений путем исключения одной неизвестной функции получено уравнение с дробными производными, решение которого выписано в явном виде. При исследовании краевой задачи используются обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса. При исследовании широко используются свойства функций типа Райта и Миттаг-Леффлера.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение диффузии, вырожденное гиперболическое уравнение, гипергеометрическая функция Гаусса, функция Райта, единственность решения задачи, существование решения задачи

Получение: 16.09.2024; Исправление: 23.09.2024; Принятие: 27.10.2024; Публикация онлайн: 20.11.2024

Для цитирования. Ruziev M. Kh., Zunnunov R. T., Yuldasheva N. T., Rakhimova G. B. Bitsadze-Samarskii type problem for the diffusion equation and degenerate hyperbolic equation // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 48. № 3. C. 33-42. EDN: GCWUEC. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-48-3-33-42.

Финансирование. Первый автор поддержан грантом Министерства высшего образования, науки и инноваций Республики Узбекистан № Ф-ФА-2021-424.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: mruziev@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Ruziev M. Kh., Zunnunov R. T., Yuldasheva N. T., Rakhimova G. B., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление

Список литературы

  1. Nigmatullin R. R.The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry, Phys. Status solidi, 1986. vol. 133, pp. 425–430 (In Russian).
  2. Kochubey A. N. Fractional order diffusion, Differential equations, 1990. vol. 26, no. 4, pp. 660–670 (In Russian).
  3. Gekkieva S. Kh.On one analog of the Tricomi problem for a mixed-type equation with a fractional derivative,Reports of the AMAN, 2001. vol. 5, no. 2, pp. 18–22 (In Russian).
  4. Gekkieva S. Kh. The Cauchy problem for a generalized transport equation with a fractional time derivative,Reports of the AMAN, 2000. vol. 5, no. 1, pp. 16–19 (In Russian).
  5. Kilbas A. A., Repin O. A. Analog of the Bitsadze-Samarskii problem for a mixed-type equation with a fractional derivative, Differential Equations, 2003. vol. 39, no. 5, pp. 638–644 (In Russian).
  6. Pskhu A. V. Solution of boundary value problems for a fractional-order diffusion equation by the Green’s function method, Differential Equations, 2003. vol. 39, no. 10, pp. 1430–1433 (In Russian).
  7. Tomovski Z., Hilfer R., Srivastava H. M. Fractional and operational calculus with generalized fractional derivative operators and Mittag-Leffler type functions,Trans. and Special functions, 2010. vol. 21, no. 11, pp. 797–814 DOI:10.1080/10652461003675737.
  8. Hilfer R. Experimental evidence for fractional time evolution in glass forming materials, Chemical Phys., 2002. vol. 284, no. 1-2, pp. 399–408.
  9. Repin O. A., Frolov A. A.On a boundary value problem for an equation of mixed type with a Riemann–Liouville fractional partial derivative, Differential Equations, 2016. vol. 52, no. 10, pp. 1384–1388 DOI:org/10.1134/S0012266116100165.
  10. Kilbas A. A., Repin O. A. An analogue of the Bitsadze-Samarskiy problem for a mixed-type equation with a fractional derivative, Differential Equations, 2003. vol. 39, no. 10, pp. 1430–1433.
  11. Repin O. A. Boundary value problem for a differential equation with a partial fractional Riemann- Liouville derivative, Ufa Mathematical Journal, 2015. vol. 7, no. 3, pp. 70–75 (In Russian).
  12. Zunnunov R. T. Analog of Bitsadze-Samarskii problem for a mixed-type equation with a fractional derivative an unbounded domain, Uzbek Mathematical Journal, 2023. vol. 67, no. 3, pp. 189–195.
  13. Samko S. G., Kilbas A. A., Repin O. A. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Science and Technology, 1987. 688 pp. (In Russian)
  14. Saigo M.A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function, Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2, pp. 135–143.
  15. Ruziev M. Kh.A boundary value problem for a partial differential equation with fractional derivative,Fractional calculus and Applied Analysis, 2021. vol. 24, no. 2, pp. 509–517 DOI: 10.1515/fca-2021-0022.
  16. Ruziev M. Kh., Rakhimova G. B.On a boundary value problem for a differential equation with a partial fractional derivative, Bulletin of the Institute of Mathematics, 2023. vol. 6, no. 2, pp. 114–121 (In Russian).
  17. Ruziev M. Kh., Zunnunov R. T.On a nonlocal problem for mixed-type equation with partial Riemann Liouville fractional derivative,Fractal Fractional, 2022. vol. 6, no. 2, pp. 110 DOI: 10.3390/fractalfract6020110.
  18. Balkizov Zh. A. Boundary value problems with data on opposite characteristics for a second-order mixed-hyperbolic equation.,Adyghe Inst. Sci. J., 2023. vol. 23, no. 1, pp. 11-19 DOI: 10.47928/1726-9946-2023-23-1-11-19; EDN: ACKBLJ. (In Russian).
  19. Balkizov Zh. A. Nonlocal problems with displacement for matching two second order hyperbolic equations., Ufa Mathematical Journal, 2023. vol. 15, no. 2, pp. 9-19 DOI:org/10.13108/2023-15-2-9.
  20. Gekkieva S. Kh. Analog of the Tricomi problem for a mixed-type equation with a fractional derivative, Izv. Kabardino-Balkarian Sci. center, 2001. vol. 2, no. 7, pp. 78–80 (In Russian).
  21. Ruziev M. Kh., Yuldasheva N. T.On a boundary value problem for a mixed type equations with a partial fractional derivative,Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022. vol. 43, no. 11, pp. 3264–3270 DOI: 10.1134/S1995080222140293.
  22. Prudnikov A.P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I Integrals and series. Moscow: Nauka, 2003. 688 pp. (In Russian)
  23. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo Y. Y. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam-Boston. Tokio: North Holland. Math. Studies, 2006. 204 pp.

Информация об авторах

Рузиев Менглибай Холтожибаевич – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Института математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, г. Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0002-1097-0137.

Зуннунов Рахимжон Темирбекович – доктор физико-математических наук, старший преподаватель, Филиал Российского государственного университета (национального исследовательского университета) имени И.М. Губкина в г. Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0001-9352-5464.

Юлдашева Наргиза Тахирджоновна – докторантурант PhD, Математический институт им. В.И. Романовского, Академия наук Узбекистана, Ташкент, Узбекистан, ORCID: 0000-0001-6921-5374.

Рахимова Гульхайо Ботиржон кызы – соискатель, Ферганский госуларственный Университет, Фергана, Узбекистан, ORCID 0009-0002-3090-8442.

Читать статьюСкачать статью