Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 50. №1. C. 62 — 77. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-62-77
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.956.4/.44

Содержание выпуска

Read English Version

Диффузионная система хищник-жертва со свободной границей

М. С. Расулов¹²^{\ast}, Ш.М. Жамолдинова¹

¹Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 9, Узбекистан
²Национальный исследовательский университет «ТИИИМСХ» 100000, г. Ташкент, ул. Кари Ниязов 39, Республика Узбекистан

Аннотация. В данной работе рассматривается задача со свободной границей для диффузионной системы хищник-жертва в одномерном случае. Исследование нелинейных задач со свободными границами методом, основанным на построении априорных оценок. Поэтому сначала с помощью метода, основанного на построении априорных оценок, определим ограничения на параметры задачи, при которых она глобально разрешима. Первая, основополагающая оценка, дает ту начальную информацию, отправляясь от которой можно получать шаг за шагом, двигаясь вверх по шкале банаховых пространств. Для этого задача сводится к задаче с фиксированной границей через замену переменных. Полученная задача имеет зависящие от времени и положения в пространстве коэффициенты с нелинейными слагаемыми. Далее построены априорные оценки типа Шаудера для решения уравнения с нелинейными слагаемыми и фиксированной границей. На основе полученных оценок доказана единственность решения задачи. Затем было доказано глобальное существование решения задачи с помощью теоремы Лерэ-Шаудера о неподвижной точке.

Ключевые слова: свободная граница, хищник-жертва, реакция-диффузия, параболическое уравнение, априорные границы, существование и единственность

Получение: 03.04.2025; Исправление: 16.04.2025; Принятие: 17.04.2025; Публикация онлайн: 18.04.2025

Для цитирования. Rasulov M. S., Jamoldinova Sh. M. A diffusive predator-prey system with a free boundary // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 50. № 1. C. 62-77. EDN: GKCHHF. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-50-1-62-77.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: rasulovms@bk.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Rasulov M. S., Jamoldinova Sh. M., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Cantrell R. S., Cosner C. Spatial ecology via reaction-diffusion equations. Chichester, UK.: John Wiley and Sons Ltd., 2003. 411 pp. (In Russian)
2. Jialu T., Ping L. Global dynamics of a modified Leslie-Gower predator-prey model with Beddington- De Angelis functional response and prey-taxis // J. Electronic Research Archive, 2022. vol. 30, no. 3, pp. 929-942 DOI: 10.3934/era.2022048.
3. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York.: Plenum Press, 1992. 777 pp.
4. Elmurodov A. N., Rasulov M. S.On a uniqueness of solution for a reaction-diffusion type system with a free boundary //Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022. vol. 43, no. 8, pp. 2099-2106 DOI: 10.1134/S1995080222110087.
5. Ding N., Cai J., Xu L.A free boundary problem with nonlinear advection and Dirichlet boundary condition // Nonlinear analysis: Real world applications, 2023. vol. 69, pp. 103719 DOI:10.1016/j.nonrwa.2022.103719.
6. Elmurodov A. N.Two-phase problem with a free boundary for systems of parabolic equations with a nonlinear term of convection // Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2021. vol. 36, no. 3, pp. 110–
   122 DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-110-122.
7. Rasulov M. S.Two free boundaries problem for a parabolic equation //Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2023. vol. 42, no. 1, pp. 108–121 DOI:10.26117/2079-6641-2023-42-1-108-121.
8. Takhirov J. O., Rasulov M. S. Problem with free boundary for systems of equations of reaction-diffusion type // Nonlinear analysis: Real world applications, 2023. vol. 69, pp. 1968-1980 DOI:10.1007/s11253-018-1481-4.
9. Wang R., Wang L., Wang Zhi-Ch. Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018. vol. 467, no. 2, pp. 1233-1257 DOI: 10.1016/j.jmaa.2018.07.065.
10. Lin Z. G.A free boundary problem for a predator-prey model // Nonlinearity, 2007. vol. 20, no. 8, pp. 1883-1892 DOI: 10.1088/0951-7715/20/8/004.
11. Elmurodov A. N., Rasulov M. S.A free boundary problem for a predator-prey system //Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023. vol. 44, no. 7, pp. 2898-2909 DOI: 10.1134/S1995080223070375.
12. Liu Y, Guo Z, Smaily M. El, Wang L. Biological invasion in a predator-prey model with a free boundary // Boundary Value Problems, 2019. vol. 33, pp. 2898-2909 DOI: 10.1186/s13661-019-1147-7.
13. Wang R., Wang L., Wang Zhi-Ch.A free boundary problem for the predator-prey model with double free boundaries // J.Dynam.Diff.Equations, 2017. vol. 29, no. 3, pp. 957-979 DOI: 10.1007/s10884-015-9503-5.
14. Liu Y, Guo Z, Smaily M. El, Wang L.A Leslie-Gower predator-prey model with a free boundary // Discrete and Continuous Dynamical Systems — S, 2019. vol. 12, no. 7, pp. 2063-2083 DOI: 10.3934/dcdss.2019133.
15. Wang M. Spreading and vanishing in the diffusive prey-predator model with a free boundary // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. vol. 23, no. 1-3, pp. 311-327 DOI: 10.1016/j.cnsns.2014.11.016.
16. Wang M.On some free boundary problems of the prey-predator model // Journal of Differential Equations, 2014. vol. 256, no. 10, pp. 3365-3394 DOI: 110.1016/j.jde.2014.02.013.
17. Guo J. S., Wu C. H.On a free boundary problem for a two-species weak competitor system // J. Dyn. Diff. Equat., 2012. vol. 24, no. 4, pp. 873-895 DOI: 10.1007/s10884-012-9267-0.
18. Wang M., Zhao J. Free Boundary Problems for a Lotka-Volterra // J. Dyn. Diff. Equat., 2014. vol. 26, pp. 655–672 DOI: 10.1007/s10884-014-9363-4.
19. Meirmanov A. M., Galtsev O. V., Galtseva O.A Some free boundary problems arising in rock mechanics // J.Math. Sci., 2022. vol. 260, pp. 492–523 DOI: 10.1007/s10958-022-05708-z.
20. Rasulov M. S. Free boundary problem for a system of parabolic equations of the reaction-diffusion type // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 2025. no. 2, pp. 79-90 DOI:10.26907/0021-3446-2025-2-79-90.
21. Rasulov M. S.On a Stefan problem for a reaction-diffusion equation with Dirichlet condition // Uzbek Mathematical Journal, 2024. vol. 68, no. 4, pp. 121-127 DOI: 10.29229/uzmj.2024-4-14.
22. Takhirov J. O.A free boundary problem for a reaction-diffusion equation in biology // Indian J. Pure
    Appl. Math., 2019. vol. 50, no. 1, pp. 95-112 DOI: 10.1007/s13226-019-0309-8.
23. Tan Q. J. Global existence of classical solutions for a class of diffusive ecological models with two free boundaries and cross-diffusion // Nonlinear analysis: Real world applications, 2021. vol. 60, pp. 103302 DOI: 10.1016/j.nonrwa.2021.103302.
24. Younes G. A., Khatib N. E. Volpert V. A. Existence of Solution of a Free Boundary Problem for Reaction–Diffusion Systems // J. Math. Sci., 2024. vol. 283, pp. 150–166 DOI: 10.1007/s10958-024-07245-3.
25. Kruzhkov S. N. Nonlinear parabolic equations in two independent variables //Tr. MMO, 1967. vol. 16, pp. 355-373 (In Russian).
26. Friedman A. Uravneniya s chastnimi proizvodnimi parabolicheskogo tipa. Moskow.: Mir, 1968. 428 pp. (In Russian)
27. Ladyzhenskaja O. A., Solonnikov V. A., Uralceva N. N. Lineynie i kvazilineynie uravneniya parabolicheskogo tip. Moskow.: Nauka, 1967. 736 pp. (In Russian)

---

Информация об авторах

---

---