Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 42. №1. C. 108-121. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА     
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-108-121
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.956.4

Содержание выпуска

Read English Version 

Задача для параболического уравнения с двумя свободными границами

М. С. Расулов^{*, 1, 2}

¹Институт Математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская 9, Республика Узбекистан
²Национальный исследовательский университет «Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства 100000, г. Ташкент, ул. Кари Ниязов 39, Республика Узбекистан

Аннотация. В данной работе рассматривается задача типа Стефана с двумя свободными границами для квазилинейного параболического уравнения в одномерном случае. Исследование нелинейных задач со свободными границами методом, основанным на построении априорных оценок. Поэтому сначала устанавливаются некоторые первоначальные априорные оценки для решения рассматриваемой задачи. Основной трудностью при построении теории для задач квазилинейных параболических уравнений второго порядка является получение априорной оценки модуля производной решение, а также в задачах со свободной границей требуются дополнительные рассуждения. Для этого задача сводится к задаче с фиксированной границей через замену переменных. Полученная задача имеет зависящие от времени и положения в пространстве коэффициенты с нелинейными слагаемыми. Далее построены априорных оценок типа Шаудера для решения уравнения с нелинейными слагаемыми и закрепленной границей. На основе полученных оценок доказана единственность решения задачи. Затем мы доказываем глобальное существование решения задачи с помощью теоремы Лерэ-Шаудера о неподвижной точке.

Ключевые слова: квазилинейное параболическое уравнение, свободная граница, априорные оценки, теорема существования и единственности.

Получение: 06.02.2023; Исправление: 20.03.2023; Принятие: 25.03.2023; Публикация онлайн: 16.04.2023

Для цитирования. Расулов М.С. Задача для параболического уравнения с двумя свободными границами //
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. № 1. C. 108-121. EDN: HFLTKL. https://doi.org/10.26117/2079-
6641-2023-42-1-108-121.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность
за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^*Корреспонденция: E-mail: rasulovms@bk.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Расулов М. С., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Мейрманов А. М., Гальцев О. В., Гальцева О. А.О существовании классического решения в целом по времени одной задачи со свободной границей, Сиб. матем. журн., 2019. Т. 60, №2, С. 419-428 DOI: 10.1134/S0037446619020137.
  2. Crank J. Free and Moving Boundary Problem. Oxford, 1984. 425 pp.
  3. Friedman A. Free boundary problems arising in biology, Discrete and Continuous Dynamical Systems — B, 2016. vol. 1, no. 23, pp. 193-202 DOI: 10.3934/dcdsb.2018013.
  4. Gupta S. C. The Classical Stefan Problem: Basic concepts, modelling and analysis with quasianalytical solutions and methods: Elservier, 2017. 717 pp.
  5. Takhirov J. O.A free boundary problem for a reaction-diffusion equation in biology, Indian J. Pure Appl. Math., 2019. vol. 50, pp. 95–112, DOI: 10.1007/s13226-019-0309-8.
  6. Du Y., Lin Zh. Spreading-vanishing dichotomy in the diffusive logistic model with a free boundary,SIAM J.Math.Anal., 2010. vol. 42, pp. 377–405, DOI: 10.1137/090771089.
  7. Gu H, Lin Z. G and Lou B. D. Long time behavior for solutions of Fisher-KPP equation with advection and free boundaries, J. Funct. Anal., 2015. vol. 269, pp. 1714-1768, DOI: 0.1016/j.jfa.2015.07.002.
  8. Pan H., Ruixiang X., Bei Hu.A free boundary problem with two moving boundaries modeling grain hydration, Nonlinearity, 2018. vol. 31, pp. 3591-3616, DOI: 10.1088/1361-6544/aabf04.
  9. Rasulov M. S. Problem for a quasilinear parabolic equation with two free boundaries, Uzbek Mathematical Journal, 2019. vol. 2, pp. 89-102, DOI: 10.29229/uzmj.2019-2-11.
  10. Du Y., Bendong L. Spreading and vanishing in nonlinear diffusion problems with free boundaries, J. Eur. Math. Soc., 2015. vol. 17, pp. 2673–2724, DOI: 10.4171/JEMS/568.
  11. Briozzo A. Tarzia D.A free boundary problem for a diffusion-convection equation, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2020,. vol. 120, (103394) https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2019.103394..
  12. Elmurodov A. N., Rasulov M. S, On a uniqueness of solution for a reaction-diffusion type system with a free boundary,,Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022. vol. 8, no. 43, pp. 2099-2106 DOI: 10.1134/S1995080222110087.
  13. Takhirov J. O., Rasulov M. S. Problem with free boundary for systems of equations of reactiondiffusion type, Ukr. Math. J, 2018. no. 69, pp. 1968–1980 DOI: 10.1007/s11253-018-1481-4.
  14. Wang R., Wang L., Wang Zh. Free boundary problem of a reaction-diffusion equation with nonlinear convection term, J. Math.Anal.Appl., 2018. no. 467, pp. 1233–1257 DOI:10.1016/j.jmaa.2018.07.065.
  15. Мейрманов А. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. 240 с.
  16. Тахиров Ж.О., Тураев Р. Н. Нелокальная задача Стефана для квазилинейного параболического
    уравнения, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. Т. 60, №28, С. 8–16 DOI: 10.14498/vsgtu1010.
  17. Кружков С. Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными, Тр. ММО., 1967. Т. 16, №4, С. 329-346.
  18. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1964. 428 с.
  19. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

Информация об авторе


Расулов Мирожиддин Собиржонович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт Математики имени В. И. Романовского
Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Узбекистан, https://orcid.org/0000-0003-0704-6012.