Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 41. №4. C. 146-166. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска

Read English Version US Flag

УДК 517.925

Научная статья

Исследование дробной динамической системы Селькова

Р. И. Паровик

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, п. Паратунка, ул. Мирная, 7, Россия

E-mail: parovik@ikir.ru

Предложена дробная нелинейная динамическая система Селькова, для описания микросейсмических
явлений. Эта система известна наличием автоколебательных режимов и применяется в биологии
для описания гликолитических колебаний субстрата и продукта. Динамическая система Селькова
также может по аналогии описать взаимодействие двух видов трещин в упруго-хрупкой среде. Первый
вид – затравочные трещины с меньшей энергией, которые не регистрируются сейсмической аппаратурой, а второй тип – крупные трещины, ко- торые порождают микросейсмы. Первый вид трещин является
триггерами для трещин второго вида. Однако возможен и обратной переход. Например, когда крупные
трещины теряют свою энергию и частично становятся затравочными. Далее после увеличения их
концентрации процесс повторяется, обеспечивая автоколебательный характер источников микросейсм.
Дробная динамическая система Селькова учитывает эффект наследственности (эредитарности) и опи-
сывается с помощью производных дробных порядков. Эредитарность колебательных систем
исследуется в рамках наследственной механики и указывает на то, что динамическая система
может <помнить> некоторое время, оказан- ное на нее воздействие, что характерно для
вязкоупругих и пластичных сред. Порядки дробных производных связаны с эредитарностью системы
и отвеча- ют за интенсивность диссипации энергии, испускаемую трещинами первого и второго
видов. В работе исследуется дробная динамическая модель Селькова с помощью численного
метода Адамса-Башфорта-Моултона, построены осциллограммы и фазовые траектории, исследованы точки покоя. Показано, что дробная динамическая модель может обладать релаксационными и затухающими колебаниями, а также хаотическими режимами.

Ключевые слова: динамическая система Селькова, автоколебательный режим, осциллограммы, фазовые траектории, бифуркационные диаграммы, метод Адамса-Башфорта-Мултона

DOI: 10.26117/2079-6641-2022-41-4-146-166

Поступила в редакцию: 07.12.2022

В окончательном варианте: 14.12.2022

Для цитирования. Паровик Р. И. Исследование дробной динамической системы Селькова // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 41. № 4. C. 146-166. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-41-4-146-166

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Паровик Р. И., 2022

Финансирование. Работа выполнена за счет средств РНФ (проект № 22-11-00064).

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Список литературы

  1. Kearey Ph. The Encyclopedia of Solid Earth Sciences: Blackwell Sci., 1993. 722 pp.
  2. Маковецкий В. И., Дудченко И. П., Закупин А. С. Автоколебательная модель источников микросейсм, Геосистемы переходных зон, 2017. № 4(1), С. 37-46.
  3. Chatelier principle for out-of-equilibrium and boundary-driven systems: Application to dynamical phase transitions, Physical review letters, 2016. vol. 116, no. 24, 240603.
  4. Selkov E. E. Self-oscillations in glycolysis. I. A simple kinetic model, Eur. J. Biochem., 1968. vol. 4, pp. 79–86.
  5. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердого тела, 1980. 392 с.
  6. Volterra V. Sur les ‘equations int’egro-differentielles et leurs applications, Acta Mathematica, 1912. vol. 35, no. 1, pp. 295–356.
  7. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  8. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. London: Academic Press, 1974. 240 pp.
  9. Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differntial equations. New York: A Wiley-Interscience publication, 1993. 384 pp.
  10. Petras I. Fractional Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing- Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011.
  11. Brechmann P., Rendall A. D. Dynamics of the Selkov oscillator, Mathematical Biosciences, 2018. vol. 306, pp. 152-159 DOI: 10.1016/j.mbs.2018.09.012.
  12. Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: A review, Proc. R. Soc. A R. Soc. Publ., 2020. vol. 476, 20190498 DOI: 10.1098/rspa.2019.0498.
  13. Garrappa R. Numerical Solution of Fractional Differential Equations: A Survey and a Software Tutorial, Mathematics, 2018. vol. 6, no. 16 DOI:10.3390/math6020016.
  14. Yang C., Liu F. A computationally effective predictor-corrector method for simulating fractional-order dynamical control system, ANZIAM J., 2006. vol. 47, pp. 168–184. DOI: 10.21914/anzi- amj.v47i0.1037.
  15. Diethelm K, Ford N.J., Freed A.D. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations, Nonlinear Dyn., 2002. vol. 29, pp. 3-22 DOI: 10.1023/A:1016592219341.
  16. Parovik R., Rakhmonov Z., Zunnunov R. Modeling of fracture concentration by Sel’kov fractional dynamic system, E3S Web of Conferences, 2020. vol. 196, 02018.
  17. Parovik R. I. Research of the stability of some hereditary dynamic systems, Journal of Physics: Conference Series, 2018. vol. 1141, no. 1, 012079.
  18. Parovik R. I. Chaotic modes of a non-linear fractional oscillator, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2020. vol. 919, no. 5, 052040.
  19. Parovik R. I. Quality factor of forced oscillations of a linear fractional oscillator, Technical Physics, 2020. vol. 65, no. 7, pp. 1015-1019.
  20. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them. Part 1: Theory, Meccanica, 1980. vol. 15, no. 1, pp. 9-20.
  21. Wolf A., Swift, J. B., Swinney, H. L., Vastano, J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica D: nonlinear phenomena, 1985. vol. 16, no. 3, pp. 285-317.
  22. Ma S., Xu Y., Yue W. Numerical solutions of a variable-order fractional financial system, Journal of Applied Mathematics, 2012. vol. . 2012, 417942 DOI: 10.1155/2012/417942.
  23. Geist K., Parlitz U., Lauterborn W. Comparision of different methods for computing Lyapunov exponents, Prog. Theor. Phys., 1990. vol. 83, no. 5.
  24. Parovik R. I. Studies of the Fractional Selkov Dynamical System for Describing the Self-Oscillatory of Microseisms, Mathematics, 2022. vol. 10(22), 4208 DOI: 10.3390/math10224208.

Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.

Читать статьюСкачать статью