Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 93-116. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-93-116

УДК 517.938

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ШИРОКОГО КЛАССА ФРАКТАЛЬНЫХ
ОСЦИЛЛЯТОРОВ 

Р. И. Паровик¹²

¹Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, Россия, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034 Россия, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

E-mail: romanparovik@gmail.com, parovik@ikir.ru

В статье рассмотрена задача Коши для широкого класса фрактальных осцилляторов и проведено ее численное исследование с помощи теории конечно-разностных схем. Фрактальные осцилляторы характеризуют колебательные процессы со степенной памятью или в общем случае с эредитарностью и описываются с помощью интегро-дифференциальных уравнений с разностными ядрами – функциями памяти. Выбирая функции памяти степенными, интегро-дифференциальные уравнения приводятся к уравнениям с производными дробных порядков. В работе, с помощью аппроксимации дробных производных Герасимова-Капуто, была разработана нелокальная явная конечно-разностная схема, обоснованы ее устойчивость и сходимость, приведены оценки вычислительной точности численного метода. Приведены примеры работы предложенной явной-конечной схемы. Показано, что порядок вычислительной точности стремиться к единице при увеличении количества расчетных узлов сетки и совпадает с порядком аппроксимации явной конечно-разностной схемы.

Ключевые слова: задача Коши, фрактальные осцилляторы, эредитарность, оператор Герасимова-Капуто, численная схема, устойчивость, сходимость, правило Рунге.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ № МК-1152.2018.1 и по теме НИР КамГУ имени Витуса Беринга «Применение дробного исчисления в теории колебательных процессов» №АААА-А17-117031050058-9.

MSC 34A08, 34K28, 37N30

NUMERICAL ANALYSIS OF THE CAUCHY PROBLEM FOR A WIDE CLASS FRACTAL OSCILLATORS 

R. I. Parovik¹²

¹Vitus Bering Kamchatka State University, 683032, Kamchatskiy kray, 4, Pogranichnaya Str., Russia Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia
² Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, 684034, Kamchatskiy kray, 7, Mirnaya Str., Paratunka, Russia

E-mail: romanparovik@gmail.com, parovik@ikir.ru

The Cauchy problem for a wide class of fractal oscillators is considered in the paper and its numerical investigation is carried out using the theory of finite-difference schemes. Fractal oscillators characterize oscillatory processes with power memory or, in general, with heredity, and are described by means of integro-differential equations with difference kernels — memory functions. By choosing memory functions as power functions, integrodifferential equations are reduced to equations with derivatives of fractional orders. In this paper, using the approximation of the fractional derivatives of Gerasimov-Kaputo, a non-local explicit finite-difference scheme was developed, its stability and convergence are justified, estimates of the numerical accuracy of computational accuracy are presented. Examples of the work of the proposed explicit-finite scheme are given. It is shown that the order of computational accuracy tends to unity as the number of grid nodes increases and coincides with the order of approximation of the explicit finite difference scheme.

Key words: Cauchy problem, fractal oscillators, hereditary, Gerasimov-Caputo operator, numerical scheme, stability, convergence, Runge rule.

This work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.1 and on the topic of the research of Vitus Bering Kamchatka State University «Application of fractional calculus in the theory of oscillatory processes»No.АААА-А17-117031050058-9.

References

  1. Boltzmann L., “Zur theorie der elastischen nachwirkung”, Annalen der Physik, 241:11 (1878), 430–432.
  2. Вронский А. П., “Явление последействия в твердом теле”, АН СССР. Прикладная математика и механика, 5:1 (1941), 31–56. [Vronskij A. P., “Javlenie posledejstvija v tverdom tele”, AN SSSR. Prikladnaja matematika i mehanika, 5:1 (1941), 31–56].
  3. Герасимов А. Н., “Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения”, АН СССР. Прикладная математика и механика, 12 (1948), 529–539. [Gerasimov A. N., “Obobshhenie linejnyh zakonov deformacii i ih prilozhenie k zadacham vnutrennego trenija”, AN SSSR. Prikladnaja matematika i mehanika, 12 (1948), 529–539].
  4. Слонимский Г. Л., “О законе деформации высокоэластичных полимерных тел”, ДАН СССР, 140 (1961), 343–346. [Slonimskij G. L., “O zakone deformacii vysokojelastichnyh polimernyh tel”, DAN SSSR, 140 (1961), 343–346].
  5. Uchaikin V.V., Fractional derivatives for physicists and engineers. V. I: Background and theory, Springer, Berlin, 2013, 373 pp.
  6. Magin R. L., “Fractional calculus models of complex dynamics in biological tissues”, Computers & Mathematics with Applications, 59:5 (2010), 1586-1593.
  7. Carvalho A. R. M., Pinto C. M. A., “Non-integer order analysis of the impact of diabetes and resistant strains in a model for TB infection”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 61 (2018), 104-126.
  8. Tarasova V.V., Tarasov V.E., “Economic Interpretation of Fractional Derivatives”, Progr. Fract. Differ. Appl, 3:1 (2017), 1-6.
  9. Petras I., Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation, Springer, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 218 pp.
  10. Паровик Р. И., “Дробное исчисление в теории колебательных систем”, Современные наукоемкие технологии, 2017, №1, 61–68. [Parovik R. I., “Drobnoe ischislenie v teorii kolebatel’nyh sistem”, Sovremennye naukoemkie tehnologii, 2017, №1, 61-68].
  11. Паровик Р. И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2017, 134 с. [Parovik R. I., Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh jereditarnyh oscilljatorov, KamGU im. Vitusa Beringa, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2017, 134 pp.]
  12. Volterra V., “Sur les equations integro-differentielles et leurs applications”, Acta Mathematica, 35:1 (1912), 295–356.
  13. Oldham K. B., Spanier J., The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order, Academic Press, London, 1974, 240 pp.
  14. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]
  15. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo. J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006, 523 с.
  16. Meilanov R. P., Yanpolov M. S., “Features of the Phase Trajectory of a Fractal Oscillator”, Technical Physics Letters, 28(1) (2002), 30-32.
  17. Паровик Р. И., “Математическое моделирование фрактального осциллятора Ван дер Поля”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:2 (2015), 57–62. [Parovik R. I., “Matematicheskoe modelirovanie fraktal’nogo oscilljatora Van der Polja”, Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 17:2 (2015), 57–62].
  18. Lee J. G., Kim S.W., Bae Y. Ch., “Analysis of Nonlinear Behavior in Fractional Van der Pol Equation with Periodic External Force and Fractional Differential Equation”, Journal of the KIECS, 11:2 (2016), 191–196.
  19. Паровик Р. И., “Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван дер Поля”, Фундаментальные исследования, 2016, №3-2, 283–287. [Parovik R. I., “Ob issledovanii ustojchivosti jereditarnogo oscilljatora Van der Polja”, Fundamental’nye issledovanija, 2016, №3-2, 283–287].
  20. Бутенков С. А., “Математические модели процессов на фрактальных структурах с заданными свойствами на основе методов грануляции”, Известия Южного федерального университета. Технические науки, 121:8 (2011), 199–209. [Butenkov S. A., “Matematicheskie modeli processov na fraktal’nyh strukturah s zadannymi svojstvami na osnove metodov granuljacii”, Izvestija Juzhnogo federal’nogo universiteta. Tehnicheskie nauki, 121:8 (2011), 199–209].
  21. Caputo M., Elasticita e dissipazione, Zanichelli, Bologna, 1969, 150 pp.
  22. Паровик Р. И., “Существование и единственность задачи Коши для широкого класса эредитарный осцилляторов”, Международный научно-исследовательский журнал, 3:10(64) (2017), 112–115. [Parovik R. I., “Sushhestvovanie i edinstvennost’ zadachi Koshi dlja shirokogo klassa jereditarnyj oscilljatorov”, Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel’skij zhurnal, 3:10(64) (2017), 112–115].
  23. Lorenzo C. F., Hartley T. T., Initialization, Conceptualization, and Application in the Generalized Fractional Calculus, Lewis Research Center, NASA, Cleveland, Ohio, USA, 1998, 16 pp.
  24. Ramirez L. E. S., Coimbra C. F. M., “On the selection and meaning of variable order operators for dynamic modeling”, International Journal of Differential Equations, 2010 (2010), 846107.
  25. Зайцев В. В., Карлов Ар. В., Нураев Д. Б., “Численный анализ автоколебаний активного фрактального осциллятора”, Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 16:2 (2013), 45–48. [Zajcev V.V., Karlov Ar.V., Nuraev D. B., “Chislennyj analiz avtokolebanij aktivnogo fraktal’nogo oscilljatora”, Fizika volnovyh processov i radiotehnicheskie sistemy, 16:2 (2013), 45–48].
  26. Карлов А. В., Регулярные и хаотические колебания в дробных и дискретных осцилляторах, Дис…. канд. физ.-мат. наук: 01.04. 03: Кандидатская диссертация, Самара, 2016, 176 с. [Karlov A. V., Reguljarnye i haoticheskie kolebanija v drobnyh i diskretnyh oscilljatorah, Dis…. kand. fiz.-mat. nauk: 01.04. 03: Kandidatskaja dissertacija, Samara, 2016, 176 pp.]
  27. Parovik R. I., “About one dynamic system, characterizing free oscillations taking into account the variable heredity”, International conference on mathematical modelling in applied sciences, 2017, 297–298.
  28. Волков Е. А., Численные методы, Наука, М., 1987, 248 с. [Volkov E. A., Chislennye metody, Nauka, M., 1987, 248 pp.]
  29. Xu Y., Erturk V. S., “A finite difference technique for solving variable-order fractional integro-differential equations”, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 40:3 (2014), 699–712.

 

References (GOST)

  1. Boltzmann L. Zur theorie der elastischen nachwirkung // Annalen der Physik. 1878. Vol. 241, no. 11. P. 430–432.
  2. Вронский А. П. Явление последействия в твердом теле // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1941. Т. 5, № 1. С. 31–56.
  3. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529–539.
  4. Слонимский Г. Л. О законе деформации высокоэластичных полимерных тел // ДАН СССР. 1961. Т. 140. С. 343–346.
  5. Uchaikin V. V. Fractional derivatives for physicists and engineers. Volume I. Background and theory. Berlin: Springer, 2013. 373 p.
  6. Magin R. L. Fractional calculus models of complex dynamics in biological tissues // Computers & Mathematics with Applications. 2010. Т. 59. №. 5. pp. 1586-1593.
  7. Carvalho A. R. M., Pinto C. M. A. Non-integer order analysis of the impact of diabetes and resistant strains in a model for TB infection // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. vol. 61. pp. 104-126.
  8. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic Interpretation of Fractional Derivatives // Progr. Fract. Differ. Appl. 2017. vol.3, No. 1. pp. 1-6.
  9. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.
  10. Паровик Р.И. Дробное исчисление в теории колебательных систем // Современные наукоемкие технологии. 2017. № 1. С. 61–68.
  11. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 134 с.
  12. Volterra V. Sur les equations integro-differentielles et leurs applications // Acta Mathematica. 1912. Vol. 35, no. 1. pp. 295–356.
  13. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. London: Academic Press, 1974. 240 p.
  14. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  15. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo. J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
  16. Meilanov R.P., Yanpolov M.S. Features of the Phase Trajectory of a Fractal Oscillator // Technical Physics Letters. 2002. vol. 28(1). pp. 30-32.
  17. Паровик Р.И. Математическое моделирование фрактального осциллятора Ван дер Поля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17, № 2. С. 57–62.
  18. Lee J.G., Kim S.W., Bae Y.Ch. Analysis of Nonlinear Behavior in Fractional Van der Pol Equation with Periodic External Force and Fractional Differential Equation // Journal of the KIECS. 2016. Vol. 11, no. 2. P. 191–196.
  19. Паровик Р.И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван дер Поля // Фундаментальные исследования. 2016. № 3-2. С. 283–287.
  20. Бутенков С.А. Математические модели процессов на фрактальных структурах с заданными свойствами на основе методов грануляции // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2011. Т. 121, № 8. С. 199–209.
  21. Caputo M. Elasticita e dissipazione. Bologna: Zanichelli, 1969. 150 p.
  22. Паровик Р.И. Существование и единственность задачи Коши для широкого класса эредитарный осцилляторов // Международный научно-исследовательский журнал. 2017. Т. 3, № 10(64). С. 112–115.
  23. Lorenzo C. F., Hartley T. T. Initialization, Conceptualization, and Application in the Generalized Fractional Calculus. Cleveland, Ohio, USA: Lewis Research Center, NASA, 1998.16 p.
  24. Ramirez L.E.S., Coimbra C.F.M. On the selection and meaning of variable order operators for dynamic modeling // International Journal of Differential Equations. 2010. Vol. 2010. P. 846107.
  25. Зайцев В.В., Карлов Ар. В., Нураев Д.Б. Численный анализ автоколебаний активного фрактального осциллятора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2013. Т. 16, № 2. С. 45–48.
  26. Карлов А. В. Регулярные и хаотические колебания в дробных и дискретных осцилляторах: Дис…. канд. физ.-мат. наук: 01.04. 03: Кандидатская диссертация / Самара. 2016. 176 с.
  27. Parovik R. I. About one dynamic system, characterizing free oscillations taking into account the variable heredity // International conference on mathematical modelling in applied sciences. Saint Petersburg: Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, 2017. P. 297–298.
  28. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 248 с.
  29. Xu Y., Erturk V.S. A finite difference technique for solving variable-order fractional integrodifferentialequations // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. 2014. Vol. 40, no. 3. P. 699–712.

Для цитирования: Паровик Р. И. Численный анализ задачи Коши для широкого класса фрактальных осцилляторов // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 93-116. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-93-116
For citation: Parovik R. I. Numerical analysis of the Сauchy problem for a wide class fractal oscillators, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 21: 1, 93-116. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-93-116

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.12.2017

 

 Par Паровик Роман Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент, декан физико-математического факультета, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, старший научный сотрудник лаборатории моделирования физическрадиоволн ДВО РАН, Камчатский край, Парих процессов Института космофизических исследований и распространения атунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.

    Parovik Roman Ivanovich – Ph.D. (Phys. & Math.), Associate Professor, Dean of the Faculty of Physics and Mathematics, Kamchatka State University named after Vitus Bering, Senior Researcher of the Physical Process Modeling Laboratory of the Institute of Cosmophysical Research and Propagation of Radio Waves, FEB RAS,Russia, ORCID 0000-0002-1576-1860.

Скачать статью Паровик Р.И.