Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 2(22). C. 8-19. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-22-2-8-19

МАТЕМАТИКА

УДК 517.938

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОТОРЫХ ЭРЕДИТАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

Р. И. Паровик¹²

¹Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032 Россия, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034 Россия, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7

E-mail: romanparovik@gmail.com, parovik@ikir.ru

В учебном курсе теории дифференциальных уравнений, существует раздел по исследованию устойчивости систем дифференциальных уравнений. Если система дифференциальных уравнений состоит из дифференциальных уравнений целочисленного порядка, то обычно для исследования устойчивости их точек покоя используется теория устойчивости Ляпунова. Однако в случае, когда система дифференциальных уравнений состоит из дифференциальных уравнений нецелочисленного порядка, тогда необходимо использовать другие методы исследования устойчивости таких систем. Поэтому эта статья посвящена методу исследования точек покоя систем дифференциальных уравнений дробного порядка. В работе мы будем исследовать устойчивость точек покоя эредитарных динамических систем на примере некоторых фрактальных осцилляторов. Причем будем рассматривать эредитарные динамические системы двух типов: соизмеримые и несоизмеримые, для которых справедливы соответствующие теоремы устойчивости точек покоя. Далее рассмотрены примеры применения этих теорем устойчивости для фрактального линейного осциллятора, фрактального осциллятора Дуффинга. Результаты исследования устойчивости точек покоя эредитарных динамических систем были подтверждены с помощью построения фазовых траекторий для рассматриваемых фрактальных осцилляторов. Эта статья может быть полезна при изучении достаточно нового раздела в теории дифференциальных уравнений – дробного исчисления.

Ключевые слова: устойчивость, точки покоя, фрактальные осцилляторы, оператор Герасимова-Капуто, фазовые траектории, предельные циклы, устойчивый фокус.

© Паровик Р. И., 2018

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ № МК-1152.2018.1 и по теме НИР КамГУ имени Витуса Беринга «Применение дробного исчисления в теории колебательных процессов» №АААА-А17-117031050058-9.

MATHEMATICS

MSC 34A08, 34K28, 37N30

STABILITY OF SOME DYNAMIC SYSTEMS HEREDITARITY 

R. I. Parovik¹²

¹Vitus Bering Kamchatka State University, 683032, Kamchatskiy kray, 4, Pogranichnaya Str., Russia Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia
²Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS, 684034, Kamchatskiy kray, 7, Mirnaya Str., Paratunka, Russia

E-mail: romanparovik@gmail.com, parovik@ikir.ru

In the training course of the theory of differential equations, there exists a section on the investigation of the stability of systems of differential equations. If the system of differential equations consists of differential equations of integer order, then the stability theory of Lyapunov is usually used to study the stability of their rest points. However, in the case when the system of differential equations consists of differential equations of non-integer order, then it is necessary to use other methods of investigating the stability of such systems. Therefore, this article is devoted to the method of investigating the rest points of systems of differential equations of fractional order. In this paper we will investigate the stability of the rest points of the hereditary dynamical systems by the example of some fractal oscillators. Moreover, we will consider two types of hereditary dynamical systems: commensurable and incommensurate, for which the corresponding stability theorems for rest points are valid. Next, examples of applying these stability theorems to a fractal linear oscillator, the Duffing fractal oscillator, are considered. The results of the study of the stability of the rest points of the hereditary dynamical systems were confirmed by constructing phase trajectories for the fractal oscillators under consideration. This article can be useful in the study of a fairly new section in the theory of differential equations-fractional calculus.

Key words: stability, rest points, fractal oscillators, Gerasimov-Caputo operator, phase trajectories, limit cycles, stable focus.

© Parovik R. I., 2018

This work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.1and on the topic of the research of Vitus Bering Kamchatka State University «Application of fractional calculus in the theory of oscillatory processes»No.АААА-А17-117031050058-9.

Список литературы

  1. Вронский А. П., “Явление последействия в твердом теле”, АН СССР. Прикладная математика и механика, 5:1 (1941), 31–56. [Vronskij A. P., “Javlenie posledejstvija v tverdom tele”, AN SSSR. Prikladnaja matematika i mehanika, 5:1 (1941), 31–56].
  2. Герасимов А. Н., “Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения”, АН СССР. Прикладная математика и механика, 12 (1948), 529–539. [Gerasimov A. N., “Obobshhenie linejnyh zakonov deformacii i ih prilozhenie k zadacham vnutrennego trenija”, AN SSSR. Prikladnaja matematika i mehanika, 12 (1948), 529–539].
  3. Caputo M., Carcione J.M., “Hysteresis cycles and fatigue criteria using anelastic models based on fractional derivatives”, Rheol Acta., 2011, №50, 107–115.
  4. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Понятие динамической памяти в экономической теории // Экономика и предпринимательство. 2017. №6(83). С. 868 — 880.
  5. Carvalho A. R. M., Pinto C. M. A., “Non-integer order analysis of the impact of diabetes and resistant strains in a model for TB infection”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 61 (2018), 104-126.
  6. Petras I., Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation, Springer, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 218 pp.
  7. Паровик Р.И., “Дробное исчисление в теории колебательных систем”, Современные наукоемкие технологии, 2017, №1, 61-68. [Parovik R.I., “Drobnoe ischislenie v teorii kolebatel’nyh sistem”, Sovremennye naukoemkie tekhnologii, 2017, №1, 61-68].
  8. Паровик Р.И., “Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля”, Фундаментальные исследования, 2016,№3-2, 283 — 287. [Parovik R.I., “Ob issledovanii ustojchivosti ehreditarnogo oscillyatora Van-der-Polya”, Fundamental’nye issledovaniya, 2016, №3-2, 283-287].
  9. Tavazoei M. S., Haeri M., “Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237:20 (2008), 2628-2637.
  10. Danca M. F., Feˇckan M., Chen G., “Impulsive stabilization of chaos in fractional-order systems”, Nonlinear Dynamics, 89:3 (2017), 889-1903.
  11. Lenka B. K., Banerjee S., “Sufficient conditions for asymptotic stability and stabilization of autonomous fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 56:3 (2018), 365-379.
  12. Palanivel J. et al., “Effect of fractional-order, time-delay and noisy parameter on slowpassage phenomenon in a nonlinear oscillator”, Chaos, Solitons & Fractals, 106 (2018), 35-43.
  13. Deshpande A. S., Daftardar-Gejji V., “On disappearance of chaos in fractional systems”, Chaos, Solitons & Fractals, 102 (2017), 119-126.
  14. Parovik R.I., “Existence and uniqueness of the Cauchy problem for the fractal nonlinear equation of the oscillator”, Uzbek Mathematical Journal, 2017, №4, 110-118.
  15. Паровик Р.И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов, КамГУ имени Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2017, 134 с. [Parovik R.I., Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh ehreditarnyh oscillyatorov, KamGU imeni Vitusa Beringa, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2017, 134 pp.]
  16. Meilanov R.P., Yanpolov M.S., “Features of the Phase Trajectory of a Fractal Oscillator”, Technical Physics Letters, 28(1) (2002), 30-32.
  17. Parovik R.I., “Mathematical modeling of nonlocal oscillatory Duffing system with fractal friction”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 10:1 (2015), 16-21.

 

Список литературы (ГОСТ)

  1. Вронский А. П. Явление последействия в твердом теле // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1941. Т. 5. № 1. С. 31-56.
  2. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529-539.
  3. Caputo M., Carcione J.M. Hysteresis cycles and fatigue criteria using anelastic models based on fractional derivatives // Rheol Acta. 2011. no 50. pp. 107–115.
  4. Тарасова В. В., Тарасов В. Е. Понятие динамической памяти в экономической теории // Экономика и предпринимательство. 2017. №6(83). С. 868 — 880.
  5. Carvalho A. R. M., Pinto C. M. A. Non-integer order analysis of the impact of diabetes and resistant strains in a model for TB infection // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. vol. 61. pp. 104-126.
  6. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.
  7. Паровик Р.И. Дробное исчисление в теории колебательных систем // Современные наукоемкие технологии. 2017. №1. С. 61 — 68.
  8. Паровик Р.И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля // Фундаментальные исследования. 2016. № 3-2. С. 283 — 287.
  9. Tavazoei M. S., Haeri M. Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. vol. 237, no. 20, pp. 2628-2637.
  10. Danca M. F., Feˇckan M., Chen G. Impulsive stabilization of chaos in fractional-order systems // Nonlinear Dynamics. 2017. vol. 89. no. 3. pp. 889-1903.
  11. Lenka B. K., Banerjee S. Sufficient conditions for asymptotic stability and stabilization of autonomous fractional order systems // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. vol. 56. no. 3. pp. 365-379.
  12. Palanivel J. et al. Effect of fractional-order, time-delay and noisy parameter on slow-passage phenomenon in a nonlinear oscillator // Chaos, Solitons & Fractals, 2018, vol. 106, pp. 35-43.
  13. Deshpande A. S., Daftardar-Gejji V. On disappearance of chaos in fractional systems // Chaos, Solitons & Fractals. 2017. vol. 102. pp. 119-126.
  14. Parovik R.I. Existence and uniqueness of the Cauchy problem for the fractal nonlinear equation of the oscillator // Uzbek Mathematical Journal. 2017. no. 4. pp. 110-118
  15. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ имени Витуса Беринга, 2017. 134 с.
  16. Meilanov R.P., Yanpolov M.S. Features of the Phase Trajectory of a Fractal Oscillator // Technical Physics Letters. 2002. vol. 28(1). pp. 30-32.
  17. Parovik R.I. Mathematical modeling of nonlocal oscillatory Duffing system with fractal friction // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2015, vol. 10, no 1, pp. 16-21.

Для цитирования: Паровик Р. И. Исследование устойчивости некоторых эредитарных динамических систем // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 2(22). C. 8-19. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-22-2-8-19
For citation: Parovik R. I. Stability of some dynamic systems hereditarity, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 22: 2, 8-19. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-22-2-8-19

Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.02.2018

 ParПаровик Роман Иванович – кандидат физико-математических наук, доцент, декан физико-математического факультета, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, старший научный сотрудник лаборатории моделирования физическрадиоволн ДВО РАН, Камчатский край, Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.

Parovik Roman Ivanovich – Ph.D. (Phys. & Math.), Associate Professor, Dean of the Faculty of Physics and Mathematics, Kamchatka State University named after Vitus Bering, Senior Researcher of the Physical Process Modeling Laboratory of the Institute of Cosmophysical Research and Propagation of Radio Waves, FEB RAS,Russia, ORCID 0000-0002-1576-1860.

Скачать статью  Parovik R.I.