Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 46. №1. C. 70-88. ISSN 2079-6641
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-70-88
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 519.622.2
Математическая модель дробного нелинейного осциллятора Матье
А.Ж. Отенова¹, Р.И. Паровик^\ast¹²
¹Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 4, Узбекистан
²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, с. Паратунка, ул. Мирная, д. 4, Россия
Аннотация. В работе проводится исследование дробного нелинейного осциллятора Матье методами численного анализа с целью установления его различных колебательных режимов. Дробный нелинейный осциллятор Матье представляет собой обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение с дробными производными в смысле Герасимова-Капуто и локальными начальными условиями (задача Коши). Дробные производные Герасимова-Капуто характеризуют наличие эффекта наследственности в колебательной системе. В такой системе текущее ее состояние зависит от предыстории. Для исследования задачи Коши был применен численный метод из семейства предиктор-корректор — метод Адамса-Башфорта-Мултона, алгоритм которого был реализован в системе компьютерной математики Matlab. С помощью численного алгоритма для различных значений параметров дробного нелинейного осциллятора Матье были построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что в отсутствии внешнего периодического воздействия в рассматриваемой колебательной системе могут возникать автоколебания, которые на фазовой траектории характеризуется предельными циклами. Проведено исследование предельных циклов с помощью компьютерного моделирования. Показано, что также могут возникать апериодические режимы, т.е. режимы, не относящиеся к колебательным. Поэтому порядки дробных производных могут влиять колебательный режим нелиненого дробного осциллятора Матье: от колебаний с постоянной амплитудой до затухающих и исчезающих совсем.
Ключевые слова: модель, нелинейный осциллятор Матье, производная дробного порядка, численное моделирование, осциллограммы, фазовые траектории
Получение: 15.02.2024; Исправление: 29.02.2024; Принятие: 01.03.2024; Публикация онлайн: 07.03.2024
Для цитирования. Отенова А. Ж., Паровик Р. И. Математическая модель дробного нелинейного осциллятора Матье // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 46. № 1. C. 70-88. EDN: MQEHDX. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-70-88.
Финансирование. Работа выполнена в рамках государственного задания ИКИР ДВО РАН (рег. №124012300245 -2)
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.
^\astКорреспонденция: E-mail: parovik@ikir.ru
Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License
© Отенова А. Ж., Паровик Р. И., 2024
© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)
Список литературы
- Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. Berlin: Springer, 2011. 218 DOI: 10.1007/978-3-642-18101-6 pp.
- Klafter J., Lim S. C., Metzler R. Fractional dynamics: recent advances. Singapore: World Scientific, 2011. 532 DOI: 10.1142/8087 pp.
- Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
- Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. New York: Dover Publications, 2005. 288 pp.
- Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
- Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
- Parovik R. I. Mathematical Models of Oscillators with Memory / Oscillators — Recent Developments. London, InTech, 2019, pp. 3-21 DOI: 10.5772/intechopen.81858.
- Паровик Р. И. Хаотические и регулярные режимы дробных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КАМЧАТПРЕСС, 2019. 132 с.
- Mathieu É. Mémoire sur le mouvement vibratoire d’une membrane de forme elliptique, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1868. vol. 13, pp. 137-203.
- Holland R., Cable V.P. Mathieu functions and their applications to scattering by a coated strip, IEEE transactions on electromagnetic compatibility, 1992. vol. 34, no. 1, pp. 9-16 DOI: 10.1109/15.121661.
- Yamamoto T., Koshino K., Nakamura Y. Parametric amplifier and oscillator based on Josephson junction circuitry / Principles and Methods of Quantum Information Technologies, Lecture Notes in Physics, vol. 911. Germany, Springer, 2016, pp. 495-513 DOI: 10.1007/978-4-431-55756-2_23.
- Löcherer K. H., Brandt C. D. Parametric electronics: an introduction, vol. 6: Springer, 1982. 342 pp.
- Vainio M., Halonen L. Mid-infrared optical parametric oscillators and frequency combs for molecular spectroscopy, Physical Chemistry Chemical Physics, 2016. vol. 18, no. 6, pp. 4266-4294 DOI: 10.1117/12.308105.
- Boston J. R. Response of a nonlinear form of the Mathieu equation, The Journal of the Acoustical Society of America, 1971. vol. 49, no. 1B, pp. 299-305 DOI: 10.1121/1.1912330.
- Kidachi H., Onogi H. Note on the stability of the nonlinear Mathieu equation, Progress of theoretical physics, 1997. vol. 98, no. 4, pp. 755-773 DOI: 10.1143/PTP.98.755.
- El-Dib Y. O. Nonlinear Mathieu equation and coupled resonance mechanism, Chaos, Solitons & Fractals, 2001. vol. 12, no. 4, pp. 705-720 DOI: 0.1016/S0960-0779(00)00011-4.
- Bartuccelli M.V. et al. Selection rules for periodic orbits and scaling laws for a driven damped quartic oscillator, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2008. vol. 9, no. 5, pp. 1966-1988 DOI: 10.1016/j.nonrwa.2007.06.007.
- Паровик Р. И. Задача Коши для нелокального уравнения Матье, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2011. Т. 13, №2, С. 90-98.
- Паровик Р.И. Диаграммы Стретта-Айнса для обобщенного уравнения Матье, Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2012. №1(4), С. 24-30.
- Parovik R. I. Fractal parametric oscillator as a model of a nonlinear oscillation system in natural mediums, International Journal of Communications, Network and System Sciences, 2013. vol. 6, no. 3, pp. 134-138 DOI: 10.4236/ijcns.2013.63016.
- Zhang W., Baskaran R., Turner K.Tuning the dynamic behavior of parametric resonance in a micromechanical oscillator, Applied physics letters, 2003. vol. 82, no. 1, pp. 130-132 DOI: 10.1063/1.1534615.
- Санин А. Л., Смирновский А. А. Квантовый осциллятор Матьё с кубической силой, трением и шумом, Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2016. Т. 24, №3, С. 54-67 DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-3-54-67.
- Герасимов А.Н. Обобщение законов линейного деформирования и их применение к задачам внутреннего трения,АН ССР. Прикладная математика и механика, 1948. Т. 44, №6, С. 62-78.
- Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent — II, Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, pp. 529-539.
- Псху А. В. Рехвиашвили С.Ш. Анализ вынужденных колебаний дробного осциллятора, Письма в Журнал технической физики, 2019. Т. 45, №1, С. 34-37 DOI: 10.21883/PJTF.2019.01.47154.17540.
- Паровик Р. И. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики вынужденных колебаний нелинейного дробного осциллятора, Письма в Журнал технической физики, 2019. Т. 45, №13, С. 25-28 DOI:10.21883/PJTF.2019.13.47953.17811.
- Parovik R.I. Existence and uniqueness of the Cauchy problem for a fractal nonlinear oscillator equation, Uz. Math. J., 2017. no. 4, pp. 110-118.
- Otenova A. Zh., Parovik R. I. Mathematical modeling of the non-linear fractional oscillator Mathieu /Actual Problems of Applied Mathematics and Information Technologies-Al-Khwarizmi, Abstracts of VIII International scientific conference. Samarkand, Samarkand state university named after Sharof Rashidov, 2023, pp. 81.
- Parovik R. I.On a Finite-Difference Scheme for an Hereditary Oscillatory Equation. Journal of Mathematical Sciences, 2021. vol. 253, no. 4, pp. 547-557 DOI: 10.1007/s10958-021-05252-2.
- Diethelm K., Ford N. J., Freed A. D.A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations, Nonlinear Dynamics, 2002. vol. 29, no. 1-4, pp. 3-22 DOI: 10.1023/A:1016592219341.
- Yang C., Liu F.A computationally effective predictor-corrector method for simulating fractional order dynamical control system,ANZIAM Journal, 2005. vol. 47, pp. 168-184 DOI: 10.21914/anziamj.v47i0.1037.
- Garrappa R. Numerical solution of fractional differential equations: A survey and a software tutorial, Mathematics, 2018. vol. 6, no. 2, 016 DOI: 10.3390/math6020016.
- Gavrilyuk I. et al. Exact and truncated difference schemes for boundary value ODEs, 2011. 247 DOI: 10.1007/978-3-0348-0107-2. pp.
- Bendixson I. Sur les courbes définies par des équations différentielles,Acta Math., 1901. vol. 24(1), pp. 1–88.
- Kim V., Parovik R. Mathematical model of fractional duffing oscillator with variable memory, Mathematics, 2020. vol. 8, no. 11, pp. 1-14 DOI:10.3390/math8112063.
Информация об авторах
Отенова Айсанем Жебегеновна – магистрант 2 курса «Прикладная математика» , Национальный университет имени Мирзо Улугбека, г. Ташкент, Узбекистан, ORCID 0009-0004-1225-1832.
Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.