Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 46. №1. C. 70-88. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-70-88
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 519.622.2

Содержание выпуска

Read English Version

Математическая модель дробного нелинейного осциллятора Матье

А.Ж. Отенова¹, Р.И. Паровик^\ast¹²

¹Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 4, Узбекистан

²Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, с. Паратунка, ул. Мирная, д. 4, Россия

Аннотация. В работе проводится исследование дробного нелинейного осциллятора Матье методами численного анализа с целью установления его различных колебательных режимов. Дробный нелинейный осциллятор Матье представляет собой обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение с дробными производными в смысле Герасимова-Капуто и локальными начальными условиями (задача Коши). Дробные производные Герасимова-Капуто характеризуют наличие эффекта наследственности в колебательной системе. В такой системе текущее ее состояние зависит от предыстории. Для исследования задачи Коши был применен численный метод из семейства предиктор-корректор — метод Адамса-Башфорта-Мултона, алгоритм которого был реализован в системе компьютерной математики Matlab. С помощью численного алгоритма для различных значений параметров дробного нелинейного осциллятора Матье были построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что в отсутствии внешнего периодического воздействия в рассматриваемой колебательной системе могут возникать автоколебания, которые на фазовой траектории характеризуется предельными циклами. Проведено исследование предельных циклов с помощью компьютерного моделирования. Показано, что также могут возникать апериодические режимы, т.е. режимы, не относящиеся к колебательным. Поэтому порядки дробных производных могут влиять колебательный режим нелиненого дробного осциллятора Матье: от колебаний с постоянной амплитудой до затухающих и исчезающих совсем.

Ключевые слова: модель, нелинейный осциллятор Матье, производная дробного порядка, численное моделирование, осциллограммы, фазовые траектории

Получение: 15.02.2024; Исправление: 29.02.2024; Принятие: 01.03.2024; Публикация онлайн: 07.03.2024

Для цитирования. Отенова А. Ж., Паровик Р. И. Математическая модель дробного нелинейного осциллятора Матье // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 46. № 1. C. 70-88. EDN: MQEHDX. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-46-1-70-88.

Финансирование. Работа выполнена в рамках государственного задания ИКИР ДВО РАН (рег. №124012300245 -2)

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: parovik@ikir.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Отенова А. Ж., Паровик Р. И., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. Berlin: Springer, 2011. 218 DOI: 10.1007/978-3-642-18101-6 pp.
  2. Klafter J., Lim S. C., Metzler R. Fractional dynamics: recent advances. Singapore: World Scientific, 2011. 532 DOI: 10.1142/8087 pp.
  3. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твёрдых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
  4. Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. New York: Dover Publications, 2005. 288 pp.
  5. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  6. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  7. Parovik R. I. Mathematical Models of Oscillators with Memory / Oscillators — Recent Developments. London, InTech, 2019, pp. 3-21 DOI: 10.5772/intechopen.81858.
  8. Паровик Р. И. Хаотические и регулярные режимы дробных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КАМЧАТПРЕСС, 2019. 132 с.
  9. Mathieu É. Mémoire sur le mouvement vibratoire d’une membrane de forme elliptique, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1868. vol. 13, pp. 137-203.
  10. Holland R., Cable V.P. Mathieu functions and their applications to scattering by a coated strip, IEEE transactions on electromagnetic compatibility, 1992. vol. 34, no. 1, pp. 9-16 DOI: 10.1109/15.121661.
  11. Yamamoto T., Koshino K., Nakamura Y. Parametric amplifier and oscillator based on Josephson junction circuitry / Principles and Methods of Quantum Information Technologies, Lecture Notes in Physics, vol. 911. Germany, Springer, 2016, pp. 495-513 DOI: 10.1007/978-4-431-55756-2_23.
  12. Löcherer K. H., Brandt C. D. Parametric electronics: an introduction, vol. 6: Springer, 1982. 342 pp.
  13. Vainio M., Halonen L. Mid-infrared optical parametric oscillators and frequency combs for molecular spectroscopy, Physical Chemistry Chemical Physics, 2016. vol. 18, no. 6, pp. 4266-4294 DOI: 10.1117/12.308105.
  14. Boston J. R. Response of a nonlinear form of the Mathieu equation, The Journal of the Acoustical Society of America, 1971. vol. 49, no. 1B, pp. 299-305 DOI: 10.1121/1.1912330.
  15. Kidachi H., Onogi H. Note on the stability of the nonlinear Mathieu equation, Progress of theoretical physics, 1997. vol. 98, no. 4, pp. 755-773 DOI: 10.1143/PTP.98.755.
  16. El-Dib Y. O. Nonlinear Mathieu equation and coupled resonance mechanism, Chaos, Solitons & Fractals, 2001. vol. 12, no. 4, pp. 705-720 DOI: 0.1016/S0960-0779(00)00011-4.
  17. Bartuccelli M.V. et al. Selection rules for periodic orbits and scaling laws for a driven damped quartic oscillator, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2008. vol. 9, no. 5, pp. 1966-1988 DOI: 10.1016/j.nonrwa.2007.06.007.
  18. Паровик Р. И. Задача Коши для нелокального уравнения Матье, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2011. Т. 13, №2, С. 90-98.
  19. Паровик Р.И. Диаграммы Стретта-Айнса для обобщенного уравнения Матье, Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2012. №1(4), С. 24-30.
  20. Parovik R. I. Fractal parametric oscillator as a model of a nonlinear oscillation system in natural mediums, International Journal of Communications, Network and System Sciences, 2013. vol. 6, no. 3, pp. 134-138 DOI: 10.4236/ijcns.2013.63016.
  21. Zhang W., Baskaran R., Turner K.Tuning the dynamic behavior of parametric resonance in a micromechanical oscillator, Applied physics letters, 2003. vol. 82, no. 1, pp. 130-132 DOI: 10.1063/1.1534615.
  22. Санин А. Л., Смирновский А. А. Квантовый осциллятор Матьё с кубической силой, трением и шумом, Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2016. Т. 24, №3, С. 54-67 DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-3-54-67.
  23. Герасимов А.Н. Обобщение законов линейного деформирования и их применение к задачам внутреннего трения,АН ССР. Прикладная математика и механика, 1948. Т. 44, №6, С. 62-78.
  24. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent — II, Geophysical Journal International, 1967. vol. 13, pp. 529-539.
  25. Псху А. В. Рехвиашвили С.Ш. Анализ вынужденных колебаний дробного осциллятора, Письма в Журнал технической физики, 2019. Т. 45, №1, С. 34-37 DOI: 10.21883/PJTF.2019.01.47154.17540.
  26. Паровик Р. И. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики вынужденных колебаний нелинейного дробного осциллятора, Письма в Журнал технической физики, 2019. Т. 45, №13, С. 25-28 DOI:10.21883/PJTF.2019.13.47953.17811.
  27. Parovik R.I. Existence and uniqueness of the Cauchy problem for a fractal nonlinear oscillator equation, Uz. Math. J., 2017. no. 4, pp. 110-118.
  28. Otenova A. Zh., Parovik R. I. Mathematical modeling of the non-linear fractional oscillator Mathieu /Actual Problems of Applied Mathematics and Information Technologies-Al-Khwarizmi, Abstracts of VIII International scientific conference. Samarkand, Samarkand state university named after Sharof Rashidov, 2023, pp. 81.
  29. Parovik R. I.On a Finite-Difference Scheme for an Hereditary Oscillatory Equation. Journal of Mathematical Sciences, 2021. vol. 253, no. 4, pp. 547-557 DOI: 10.1007/s10958-021-05252-2.
  30. Diethelm K., Ford N. J., Freed A. D.A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations, Nonlinear Dynamics, 2002. vol. 29, no. 1-4, pp. 3-22 DOI: 10.1023/A:1016592219341.
  31. Yang C., Liu F.A computationally effective predictor-corrector method for simulating fractional order dynamical control system,ANZIAM Journal, 2005. vol. 47, pp. 168-184 DOI: 10.21914/anziamj.v47i0.1037.
  32. Garrappa R. Numerical solution of fractional differential equations: A survey and a software tutorial, Mathematics, 2018. vol. 6, no. 2, 016 DOI: 10.3390/math6020016.
  33. Gavrilyuk I. et al. Exact and truncated difference schemes for boundary value ODEs, 2011. 247 DOI: 10.1007/978-3-0348-0107-2. pp.
  34. Bendixson I. Sur les courbes définies par des équations différentielles,Acta Math., 1901. vol. 24(1), pp. 1–88.
  35. Kim V., Parovik R. Mathematical model of fractional duffing oscillator with variable memory, Mathematics, 2020. vol. 8, no. 11, pp. 1-14 DOI:10.3390/math8112063.

Информация об авторах

Отенова Айсанем Жебегеновна – магистрант 2 курса «Прикладная математика» , Национальный университет имени Мирзо Улугбека, г. Ташкент, Узбекистан, ORCID 0009-0004-1225-1832.


Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории моделирования физических процессов института космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Паратунка, Россия, ORCID 0000-0002-1576-1860.