Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 47-54. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-47-54

УДК 512.24

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ПОКОЯ ДРОБНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ВАН ДЕР ПОЛЯ-ДУФФИНГА

Е.Р. Новикова

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: elizaveta_333@mail.ru

В работе проводится исследование на асимптотическую устойчивость точек покоя дробного осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга. Дробный осциллятор Ван дер Поля- Дуффинга представляет собой колебательную систему двух дифференциальных уравнений с производными дробных порядков в смысле Герасимова-Капуто. Порядки дробных производных характеризуют свойства среды (эффекты памяти), в которой происходит колебательный процесс и могут быть одинаковыми (соизмеримыми) или разными (несоизмеримыми). С помощью теорем для соизмеримой и несоизмеримой систем на конкретных примерах исследуется асимптотическая устойчивость точек покоя дробного осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга. Результаты исследований были подтверждены с помощью построения соответствующих осциллограмм и фазовых траекторий.

Ключевые слова: дробный осциллятор Ван-дер-Поля Дуффинга, особые точки, соизмеримые и несоизмеримые системы, асимптотичская устойчивость, осциллограммы и фазовые траектории

© Новикова Е. Р, 2019

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ № МК-1152.2018.1

MSC 37N10

STUDY OF THE SINGULAR POINTS OF THE FRACTIONAL OSCILLATOR VAN DER POL-DUFFING

Е. R. Novikova

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

A study is conducted on the asymptotic stability of the rest points of the fractional oscillator Van der Pol-Duffing. The fractional van der Pol-Duffing oscillator is an oscillatory system of two differential equations with fractional order derivatives in the sense of Gerasimov-Caputo. The orders of fractional derivatives characterize the properties of the medium (memory effects) in which the oscillatory process takes place and can be the same (commensurate) or different (incommensurable). Using theorems for commensurable and incommensurable systems, the asymptotic stability of the rest points of the fractional van der Pol-Duffing oscillator is investigated with concrete examples. The results of the studies were confirmed by constructing the appropriate waveforms and phase trajectories.

E-mail: elizaveta_333@mail.ru

Key words: Van der Pol’s Duffing fractional oscillator, singular points, commensurate and incommensurate systems, asymptotic stability, oscillograms and phase trajectories

© Novikova E. R, 2019

This work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.1

Список литературы/References

1. Вронский А. П., “Явление последействия в твердом теле”, АН СССР. Прикладная математика и  механика, 5:1 (1941), 31–56. [Vronskiy A. P., “Yavleniye posledeystviya v tverdom tele”, AN
   SSSR. Prikladnaya matematika i mekhanika, 5:1 (1941), 31–56].
2. Работнов Ю. Н., “Равновесие упругой среды с последействием”, АН СССР. Прикладная математика и  механика, 12:1 (1948), 53–62. [Rabotnov Yu. N., “Ravnovesiye uprugoy sredy s  posledeystviyem”, AN SSSR. Prikladnaya matematika i mekhanika, 12:1 (1948), 53–62].
3. Герасимов А. Н., “Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего  трения”, АН СССР. Прикладная математика и механика, 12:3 (1948), 251-260. [Gerasimov A. N.,  “Obobshcheniye lineynykh zakonov deformatsii i ikh prilozheniye k zadacham vnutrennego treniya”,  AN SSSR. Prikladnaya matematika i mekhanika, 12:3 (1948), 251-260].
4. Volterra V., “Sur les ’equations int’egro-diff’erentiellesetleurs
   applications”, ActaMathematica, 35:1 (1912), 295-356.
5. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 pp. [Nakhushev A. M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]
6. Petras I., Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation, Springer, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 218 pp.
7. Паровик Р. И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов, Петропавловск-Камчатский, КамГУ им. Витуса Беринга, 2017, 135 с. [Parovik R. I., Matematicheskoye modelirovaniye nelineynykh ereditarnykh ostsillyatorov, Petropavlovsk-Kamchatskiy, KamGU im. Vitusa Beringa, 2017, 135 pp.]
8. Новикова Е. Р, Паровик Р. И., “Исследование точек покоя эредитарной динамической системы Ван  дер Поля-Дуффинга”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 26:1 (2019), 71-77. [Novikova Ye. R, Parovik R. I., “Issledovaniye tochek pokoya ereditarnoy dinamicheskoy sistemy  Van der Polya-Duffinga”, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 26:1 (2019), 71-77  https://doi.org/10.26117/2079-6641-2019-26-1-71-77].
9. Липко О. Д., “Исследование устойчивости точек покоя дробного осциллятора ФитцХью-Нагумо”,  Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 26:1 (2019), 63-70. [Lipko O. D., “Issledovaniye ustoychivosti tochek pokoya drobnogo ostsillyatora FittsKH’yu-Nagumo”, Vestnik KRAUNTS. Fiz.-mat. nauki, 26:1  (2019), 63-70 https://doi.org/10.26117/2079- 6641-2019-26-1-63-70].
10. Caputo M., Elasticit‘a e dissipazione, Bologna, Zanichelli, 1969, 150 pp.
11. Tavazoei M. S., Haeri M., “Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237:20 (2008), 2628-2637.

Список литературы (ГОСТ)

1. Вронский А. П. Явление последействия в твердом теле // АН СССР. Прикладная математика и  механика. 1941. Т. 5. № 1. С. 31–56.
2. Работнов Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. № 1. С. 53–62.
3. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. № 3. 251-260.
4. Volterra V. Sur les ’equations int’egro-diff’erentiellesetleurs
   applications // ActaMathematica. 1912. Vol. 35, no. 1. P. 295-356.
5. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
6. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and  Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.
7. Паровик Р. И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. КамГУ им. Витуса Беринга: Петропавловск-Камчатский, 2017. 135 с.
8. Новикова Е. Р, Паровик Р. И. Исследование точек покоя эредитарной динамической системы Ван дер  Поля-Дуффинга // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 71-77. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-71-77.
9. Липко О. Д. Исследование устойчивости точек покоя дробного осциллятора ФитцХью- Нагумо //  Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 63-70. DOI:  10.26117/2079-6641-2019-26-1-63-70
10. Caputo M. Elasticit‘a e dissipazione. Zanichelli: Bologna, 1969. 150 p.
11. Tavazoei M. S., Haeri M. Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. vol. 237. no. 20. pp. 2628-2637.

Для цитирования: Новикова Е. Р. Устойчивость точек покоя дробного осциллятора Ван дер Поля-Дуффинга  // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 47-54. DOI:  10.26117/2079-6641-2019-27-2-47-54

For citation: Novikova E. R Study of the singular points of the fractional oscillator Van der  Paul-Duffing, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 27: 2, 47-54. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-47-54

Поступила в редакцию / Original article submitted: 14.06.2019