Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 6-11. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-6-11

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

О. Х. Масаева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89a

E-mail: olesya.masaeva@yandex.ru

Доказано существование и единственность решения задачи Дирихле для уравнения второго порядка с дробной производной. Исследуемое уравнение переходит в волновое уравнение при целом значении порядка дробной производной.

Ключевые слова: задача Дирихле, дробная производная Римана-Лиувилля, дробная производная Капуто, волновое уравнение

© Масаева О. Х., 2019

MATHEMATICS

MSC 35L05

DIRCHLET PROBLEM FOR A NONLOCAL WAVE EQUATION WITH RIEMANN-LIOUVILLE DERIVATIVE

О. Kh. Masaeva

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Kabardino-Balkarian Republic, Nalchik, st. Shortanova, 89a

E-mail: olesya.masaeva@yandex.ru

The existence and uniqueness of the solution to Dirichlet problem for a second-order equation with a fractional derivative is proved. The equation under study is a wave equation for a integer value of the order of the fractional derivative.

Key words: Dirichlet problem, Riemann-Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, wave equation

© Masaeva О. Kh., 2019

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nakhushev A.  M., Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]
  2. Псху А. B., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. B., Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]
  3. Керефов М. А., “Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка”,  Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики, Сб. научных трудов института математики НАН Украины, Киев, 1997, 144-145. [Kerefov M. A., “Resheniye odnoy krayevoy zadachi dlya volnovogo uravneniya drobnogo poryadka”, Nelineynyye problemy differentsial’nykh uravneniy i matematicheskoy fiziki, Sb. nauchnykh trudov instituta matematiki NAN Ukrainy,  Kiyev, 1997, 144-145].
  4. Agrawal O. P., “Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded  domain”, Nonlinear Dynam, (29)-1:4 (2002), 145–155.
  5. Mainardi F., “The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation”, Appl.  Math. Lett., 9:6 (1996), 23–28.
  6. Псху А.В., “Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка”, Изв.  РАН, 73:2 (2009), 141-182. [Pskhu A.V., “Fundamental’noye resheniye diffuzionno-volnovogo
    uravneniya drobnogo poryadka”, Izv. RAN, 73:2 (2009), 141-182].
  7. Масаева О. Х., “Задача Дирихле для нелокального волнового уравнения”, Диффе- ренц. уравнения, 49:12 (2013), 1554-1559. [Masayeva O. KH., “Zadacha Dirikhle dlya nelokal’nogo volnovogo
    uravneniya”, Differents. uravneniya, 49:12 (2013), 1554-1559].
  8. Масаева О. Х., “Необходимое и достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для  нелокального волнового уравнения”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. на- уки., 11:2 (2015), 16-20.  [Masaeva O. Kh., “Necessary and sufficient conditions for the uniqueness od Dirichlet problem  solution for nonlocal wave equation”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 11:2 (2015), 19-23].
  9. Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с. [Dzhrbashyan M. M., Integral’nyye preobrazovaniya i predstavleniya  funktsiy v kompleksnoy oblasti, Nauka, M., 1966, 672 pp.]
  10. Псху А. В., “О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера”, Мат. заметки, 77:4 (2005), 592–599. [Pskhu A. V., “O veshchestvennykh nulyakh funktsii tipa Mittag- Lefflera”, Mat. zametki, 77:4 (2005), 592–599].
  11. Попов А. Ю., “О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной”, Фундаментальная и прикладная математика, 12:6 (2006), 137–155. [Popov A. YU., “O kolichestve veshchestvennykh sobstvennykh znacheniy odnoy krayevoy zadachi dlya uravneniya vtorogo poryadka s drobnoy proizvodnoy”, Fundamental’naya i prikladnaya matematika, 12:6 (2006), 137– 155].
  12. Зорич В. А., Математический анализ. Т. II, Наука, М., 1984, 640 с. [Zorich V. A., Matematicheskiy analiz. V. II, Nauka, M., 1984, 640 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 c.
  2. Псху А. B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 c.
  3. Керефов М. А. Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики // Сб. научных трудов института математики НАН Украины. Киев, 1997. C. 144-145.
  4. Agrawal O. P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Nonlinear Dynam. 2002. vol 29-1. no. 4. C. 145–155.
  5. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Appl.  Math. Lett. 1996. vol. 9. no. 6. pp. 23–28.
  6. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного по- рядка // Изв. РАН. 2009. Т. 73. № 2. С. 141-182.
  7. Масаева О. Х. Задача Дирихле для нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 12. С. 1554-1559.
  8. Масаева О. Х. Необходимое и достаточное условие единственности решения задачи Дирихле для  нелокального волнового уравнения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. Т. 11. № 2. С. 16-20.
  9. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.:  Наука, 1966. 672 c.
  10. Псху А. В. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. T. 77. №. 4. С. 592–599.
  11. Попов А. Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. № 6. С. 137–155.
  12. Зорич В.А. Математический анализ. Т. II. М.: Наука, 1984. 640 с.

Для цитирования: Масаева О. Х. Задача Дирихле для нелокального волнового уравнения с  производной Римана-Лиувилля // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 27. № 2. C. 6-11. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-6-11
For citation: Masaeva О. Kh. Dirichlet problem for a nonlocal wave equation with Riemann- Liouville derivative, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 27: 2, 6-11. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-27-2-6-11

Поступила в редакцию / Original article submitted: 02.06.2019

Масаева Олеся Хажисмеловна — младший научный сотрудник отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации, республика Кабардино-Балкария, г. Нальчик, Россия, ORCID 0000-0002-0392-6189.

Masaeva Olesya Hazhismelovna – junior researcher, Dep. of Fractional Calculus, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkaria, Nalchik, Russia, ORCID 0000-0002-0392-6189.

Скачать статью/Download article