Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. №3. C. 19-29. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА                                     

https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-19-29

Научная статья

Полный текст на русском языке

УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version 

Об одной смешанной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка

Р. Х. Макаова^\ast

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова 89А, Россия

Аннотация. В работе исследуется смешанная краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области. В положительной части области рассматриваемое уравнение совпадает с уравнением Аллера, которое является уравнением третьего порядка гиперболического типа, хотя его принято называть уравнением псевдопараболического типа. А в отрицательной части области оно совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода, частным случаем которого является уравнение Бицадзе-Лыкого. Для исследуемой задачи доказана теорема существования и единственности регулярного решения. Единственность решения исследуемой задачи доказана методом Трикоми. Относительно следов искомого решения найдены соответствующие фундаментальные соотношения. С помощью метода интегральных уравнений вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу о разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода относительно следа производной искомого решения. Согласно общей теории линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, полученное уравнение разрешимо единственным образом в классе регулярных функций. Решение исследуемой задачи можно выписать в явном виде как решение смешанной задача для уравнения Аллера в положительной части области и как решение задачи Коши для вырождающегося гиперболического уравнения первого рода в отрицательной части области.

Ключевые слова: вырождающееся гиперболическое уравнение, уравнение Аллера, оператор дробного интегро-дифференцирования.

Получение: 29.09.2023; Исправление: 30.10.2023; Принятие: 31.10.2023; Публикация онлайн: 02.11.2023

Для цитирования. Макаова Р. Х. Об одной смешанной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. № 3. C. 19-29. EDN: WENGSO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-19-29.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: makaova.ruzanna@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Макаова Р. Х., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Hallaire M. L’eau et la productions vegetable, Institut National de la Recherche Agronomique, 1964. Т. 9.
  2. Showalter R. E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations, SIAM J. Math. Anal., 1970. Т. 1, № 1, С. 1-26.
  3. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
  4. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip, Arch. Rat. Mech. Anal., 1965. vol. 19, pp. 100–116.
  5. Colton D. Pseudoparabolic Equations in One Space Variable, Journal of Differ. Equations, 1972. vol. 12, no. 3, pp. 559–565.
  6. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах, Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 4, С. 689–699.
  7. Yangarber V. A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics., 1967. vol. 8, no. 1, pp. 62–64.
  8. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера, Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 6, С. 815–826 Doi: 10.1023/B:DIEQ.0000046860.84156.f0.
  9. Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана–Лиувилля, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, № 3, С. 35–38.
  10. Макаова Р. Х. Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана — Лиувилля, Вестник АГУ. Серия 4: Естественноматематические и технические науки, 2017. Т. 4, № 211, С. 36–41.
  11. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 150 с.
  12. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  13. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  14. Кальменов T. Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения, Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7, № 1, С. 178–181.
  15. Кальменов T. Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения, Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10, № 1, С. 59–68.
  16. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, Владикавказский математический журнал, 2016. Т. 18, № 2, С. 19–30.
  17. Балкизов Ж. А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки., 2016. Т. 1, № 189, С. 5–10.
  18. Балкизов Ж. А. Задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения первого рода, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 2021. Т. 25, № 1, С. 21–34 DOI:10.14498/vsgtu1783.
  19. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: издательство Саратовского университета, 1992. 161 с.
  20. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
  21. Макаова Р. Х. Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 4, С. 651–664 DOI:10.14498/vsgtu1574.
  22. Makaova R. Kh. oundary-Value Problem for a Third-Order Hyperbolic Equation that is Degenerate Inside a Domain and Contains the Aller Operator in the Principal Part, Journal of Mathematical Sciences, 2020. Т. 250, № 5, С. 780-787 DOI:10.1007/s10958-020-05043-1.
  23. Макаова Р. Х. Об одной смешанной задаче для неоднородного уравнения Аллера, Доклады АМАН, 2022. Т. 22, № 2, С. 29–33 DOI:10.47928/1726-9946-2022-22-2-29-33.
  24. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1.. М.: Физматлит, 2003. 680 с. 

Информация об авторе

Макаова Рузанна Хасанбиевна – Младший научный сотрудник отдела «Уравнения смешанного типа», Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова 89А, Россия, ORCID 0000-0001-5864-6283.

Читать статьюСкачать статью