Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 63-70. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-63-70

Содержание

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-63-70

УДК 512.24

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ПОКОЯ ДРОБНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ФИТЦХЬЮ-НАГУМО

О. Д. Липко

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
E-mail: olgalipko95@mail.ru

В работе с помощью качественного анализа были исследованы на устойчивость точки покоя дробного осциллятора ФитцХью-Нагумо в соизмеримом и несоизмеримом случаях. Для соответвующей точки покоя, с помощью численного метода теории конечно-разностных схем, была построена фазовая траектория. Показано, что точки покоя могут быть как асимптотически устойчивыми, что соответствуют устойчивым фокусам, так и являться асимптотически неустойчивыми (неустойчивыми фокусами), причем для них фазовые таректории, как правило, выходят на предельный цикл.

Ключевые слова: точки покоя, устойчивость, предельный цикл, дробный осциллятор ФитцХью-Нагумо, фазовые траектории.

© Липко О. Д., 2019

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ №МК-1152.2018

 

MSC 37N10

STABILITY OF THE REST POINTS FRACTIONAL OSCILLATOR FITZHUGH-NAGUMO

O. D. Lipko

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: olgalipko95@mail.ru

In this paper, using the qualitative analysis, we studied the stability of the point of rest of the fractional oscillator FitzHugh-Nagumo in commensurate and incommensurable cases. For the corresponding point of rest, using the numerical method of the theory of finite difference schemes, phase trajectories were constructed. It is shown that quiescent points can be both asymptotically stable, which correspond to stable focus, and are asymptotically unstable (unstable focus), and for them the phase trajectories usually go to the limit cycle.

Key words: rest points, stability, limit cycle, FitzHugh-Nagumo fractional oscillator, phase trajectories.

© Lipko O. D., 2019

The work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.

 

Список литературы/References

  1. Petras I., Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation, Springer, Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011, 218 p.
  2. Паровик Р. И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2017, 135 с. [Parovik R. I., Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh ehreditarnyh oscillyatorov [Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов], KamGU im. Vitusa Beringa, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2017 (in Russia), 135 pp.]
  3. Volterra V., “Sur les Equations Integro-Differentielleset Leurs Applications”, Acta Mathematica, 35:1 (1912), 295-356.
  4. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006, 523 pp.
  5. FitzHugh R., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane”, Biophysical Journal, 1961, №1, 446-466.
  6. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S., “An active pulse transmission line simulating nerve axon”, Proc. IRE., 1962, №50, 2061–2070.
  7. Спиртус В. Б., “Возможности биофизических моделей типа Фитцхью-Нагумо в отображении двумерной миграции сейсмичности”, Геофизический журнал, 32:1 (2010), 134-143. [Spirtus V. B., “Vozmozhnosti biofizicheskih modelej tipa Fitckh’yu-Nagumo v otobrazhenii dvumernoj migracii sejsmichnosti [Possibilities of biophysical models such as Fitzhugh-Nagumo in the mapping of two-dimensional seismicity migration]”, Geofizicheskij zhurnal, 32:1 (2010), 134-143 (in Russia)].
  8. Липко О. Д., “Математическая модель распространения нервного импульса с учетом эредитарности”, Вестник КРАУНЦ, 2017, №1(17), 33-43. [Lipko O. D., “Mathematical model of nerve impulse propagation with regard to heredity”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 16:1 (2017), 52-60 (transl. Engl.)].
  9. Липко О. Д., “Математическая модель эредитарного осциллятора ФитцХью—Нагумо”, Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» Кабардино-Балкария, Нальчик, 17–21 мая 2017 г., Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 154, ВИНИТИ РАН, М., 2018, 72–80. [Lipko O. D., “Matematicheskaya model’ ehreditarnogo oscillyatora FitcKH’yu-Nagumo [Mathematical model of hereditary FitzHugh-Nagumo oscillator]”, Materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii «Aktual’nye problemy prikladnoj matematiki i fiziki» Kabardino-Balkariya, Nal’chik, 17–21 maya 2017 g., Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. mat. i ee pril. Temat. obz., 154, 2018, 72–80 (in Russia)].
  10. Липко О. Д., “Исследование хаотических и регулярных режимов фрактального осциллятора ФитцХью-Нагумо”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2018, №3(23), 116-123. [Lipko O. D., “Investigation of regular and chaotic modes of the FitzHughNagumo fractal oscillator”, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2018, №3(23), 116-123 (in Russia)].
  11. Lipko O. D., Parovik R. I., “Some aspects of investigation of limit cycles of FitzHugh-Nagumo oscillator with degree memory”, J. Phys.: Conf. Ser, 1141 (2018), 012125.
  12. Tavazoei M. S., Haeri M., “Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 237:20 (2008), 2628-2637.
  13. Gerasimov A. N., “Obobshchenie linejnyh zakonov deformacii i ih prilozhenie k zadacham vnutrennego treniya [Generalization of the linear laws of deformation and their application to the problems of internal friction]”, AN SSSR. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1948, №2, 529––539 (in Russia).
  14. Caputo M., Elasticit‘a e dissipazione., Zanichelli, Bologna, 1969, 150 pp.

Список литературы (ГОСТ)

  1. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.
  2. Паровик Р. И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 135 c.
  3. Volterra V. Sur les Equations Integro-Differentielleset Leurs Applications // Acta Mathematica. 1912. vol. 35. no. 1. pp. 295-356.
  4. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
  5. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical Journal. 1961. no. 1. pp. 446—466.
  6. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. IRE. 1962. no. 50. pp. 2061-2070.
  7. Спиртус В. Б. Возможности биофизических моделей типа Фитцхью—Нагумо в отображении двумерной миграции сейсмичности // Геофизический журнал. 2010. Т. 32. №. 1. C. 134-143.
  8. Липко О. Д. Математическая модель распространения нервного импульса с учетом эредитарности // Вестник КРАУНЦ. 2017. №. 1(17). С. 33-43.
  9. Липко О. Д. Математическая модель эредитарного осциллятора ФитцХью-Нагумо // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2018. Т. 154. С. 72-80.
  10.  Липко О. Д. Исследование хаотических и регулярных режимов фрактального осциллятора ФитцХью-Нагумо // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №3(23). С. 116-123.
  11. Lipko O. D., Parovik R. I. Some aspects of investigation of limit cycles of FitzHugh-Nagumo oscillator with degree memory // J. Phys.: Conf. Ser. 2018. vol. 1141. 012125.
  12. Tavazoei M. S., Haeri M. Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. vol. 237. no. 20. pp. 2628-2637.
  13. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. №. 2. С. 529-539.
  14. Caputo M. Elasticit‘a e dissipazione. Bologna: Zanichelli, 1969. 150 p.

Для цитирования: Липко О. Д. Исследование устойчивости точек покоя дробного осциллятора ФитцХью-Нагумо // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 63-70. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-63-70
For citation: Lipko O. D. Stability of the rest points fractional oscillator FitzHugh-Nagumo, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 26: 1, 63-70. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-63- 70

Поступила в редакцию / Original article submitted: 16.03.2019

   Липко Ольга ДLipkoмитриевна – магистрант второго курса, направление подготовки «Прикладная математика и информатика», Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия.
   Lipko Olga Dmitrievna – second-year undergraduate training direction «Applied Mathematics and Informatics», Kamchatka Vitus Bering State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia.

Скачать статью/Download article Lipko O.D.

Количество загрузок/Downloads Счётчик скачиваний. Показано число загрузок этого файла за 30 дней, для получения более подробной статистики кликните на счётчике