Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 116-123. ISSN 2079-6641

Содержание

DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-116-123

УДК 517.938

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ И РЕГУЛЯРНЫХ РЕЖИМОВ ФРАКТАЛЬНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ФИТЦХЬЮ-НАГУМО 

О. Д. Липко

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: olgalipko95@mail.ru

В настоящей работе исследуются условия существования хаотических и регулярных колебательных режимов эредитарного осциллятора ФитцХью-Нагумо (ЭФН) – математической модели распространения нервного импульса в мембране. Для достижения этой цели, с помощью нелокальной явной конечно-разностной схемы и алгоритма Вольфа с процедурой ортогонализации Грама-Шмидта, были построены спектры максимальных показателей Ляпунова в зависимости от значений управляющих параметров модели ЭФН. Результаты расчетов показали, что существуют спектры максимальных показателей Ляпунова как с положительными значениями, так и с отрицательными. Результаты расчетов также были подтверждены с помощью осциллограмм и фазовых траекторий, что указывает на возможность существования как хаотических аттракторов, так и предельный циклов.

Ключевые слова: предельный цикл, осциллятор ФитцХью-Нагумо со степенной памятью, спектр максимальных показателей Ляпунова, осциллограммы и фазовые траектории.

© Липко О. Д., 2018

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта президента РФ № МК-1152.2018.1 и по теме НИР КамГУ имени Витуса Беринга «Применение дробного исчисления в теории колебательных процессов» №АААА-А17-117031050058-9.

MSC 34A08, 34K28, 37N30

INVESTIGATION OF REGULAR AND CHAOTIC MODES OF THE FITZHUGH-NAGUMO FRACTAL OSCILLATOR 

O. D. Lipko

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: olgalipko95@mail.ru

In this paper we study the conditions for the existence of chaotic and regular oscillatory regimes of the hereditary oscillator FitzHugh-Nagumo (EFN), a mathematical model for the propagation of a nerve impulse in a membrane. To achieve this goal, using the non-local explicit finite-difference scheme and Wolf’s algorithm with the Gram-Schmidt orthogonalization procedure, the Lyapunov maximum exponent spectra were constructed as a function of the values of the control parameters of the model of the EFN. The results of the calculations showed that there are spectra of maximum Lyapunov exponents both with positive values and with negative values. The results of the calculations were also confirmed with the help of oscillograms and phase trajectories, which indicates the possibility of the existence of both chaotic attractors and limit cycles.

Key words: limit cycle, FitzHugh-Nagumo oscillator with power memory, the spectrum of Lyapunov maximum exponents, oscillograms and phase trajectories.

© Lipko O. D., 2018

This work was supported by the grant of the President of the Russian Federation No. MK-1152.2018.1 and on the topic of the research of Vitus Bering Kamchatka State University «Application of fractional calculus in the theory of oscillatory processes»No.АААА-А17-117031050058-9.

Список литературы

  1. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S., “An active pulse transmission line simulating nerve axon”, Proc. IRE., 1962, №50, 2061–2070.
  2. FitzHugh R., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane”, Biophysical Journal, 1961, №1, 446-466.
  3. Спиртус В. Б., “Возможности биофизических моделей типа ФитцХью-Нагумо в отображении двумерной миграции сейсмичности”, Геофизический журнал, 32:1 (2010), 134-143. [Spirtus V. B., “Vozmozhnosti biofizicheskih modelej tipa FitcKH’yu-Nagumo v otobrazhenii dvumernoj migracii sejsmichnosti”, Geofizicheskij zhurnal, 32:1 (2010), 134- 143].
  4. Parovik R. I., “On a Credit Oscillatory System with the Inclusion of Stick-Slip”, E3S Web of Conferences, 11 (2016), 00018.
  5. Вронский А. П., “Явление последействия в твердом теле”, АН СССР. Прикладная математика и механика, 5:1 (1941), 31–56. [Vronskij A. P., “Javlenie posledejstvija v tverdom tele”, AN SSSR. Prikladnaja matematika i mehanika, 5:1 (1941), 31–56].
  6. Volterra V., “Sur les Equations Integro-Differentielleset Leurs Applications”, Acta Mathematica, 35:1 (1912), 295-356.
  7. Schroeder M., Fractals, chaos, power laws: Minutes from an infinite paradise, Freeman, 1992, 429 pp.
  8. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006, 523 pp.
  9. Lipko O. D., “Mathematical model of nerve impulse propagation with regard to heredity”, Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 16:1 (2017), 52-60.
  10. Липко О. Д., “Динамическая система ФитцХью-Нагумо”, Актуальные проблемы прикладной математики и физики, Материалы Международной научной конференции, ИПМА КБНЦ РАН, Нальчик, 2017, 126-127. [Lipko O. D., “Dinamicheskaya sistema FitcKH’yu-Nagumo”, Aktual’nye problemy prikladnoj matematiki i fiziki, Materialy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, IPMA KBNC RAN, Nal’chik, 2017, 126-127].
  11. Герасимов А. Н., “Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения”, АН СССР. Прикладная математика и механика, 1948, №2, 529-539. [Gerasimov A. N., “Obobshchenie linejnyh zakonov deformacii i ih prilozhenie k zadacham vnutrennego treniya”, AN SSSR. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1948, №2, 529-539].
  12. Caputo M., Elasticit ‘ a e dissipazione., Zanichelli, Bologna, 1969, 150 с.
  13. Липко О. Д., Паровик Р. И., “Исследование хаотических и регулярных режимов фрактального осциллятора ФитцХью-Нагумо”, Актуальные проблемы прикладной математики, Материалы IV Международной научной конференции, 2018, 157. [Lipko O. D., Parovik R. I., “Issledovanie haoticheskih i regulyarnyh rezhimov fraktal’nogo oscillyatora FitcKH’yu-Nagumo”, Aktual’nye problemy prikladnoj matematiki, Materialy IV Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, 2018, 157].
  14. Wolf A. et al., “Determining Lyapunov exponents from a time series”, Physica D: Nonlinear Phenomena, 1985, №16(3), 285—317.
  15. Паровик Р. И., Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов, КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камчатский, 2017, 134 с. [Parovik R. I., Matematicheskoe modelirovanie nelinejnyh ehreditarnyh oscillyatorov, KamGU im. Vitusa Beringa, Petropavlovsk-Kamchatskij, 2017, 134 pp.].
  16. Паровик Р.И., “Численный анализ задачи Коши для широкого класса фрактальных осцилляторов”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2018, №1(21), 93-116. [Parovik R.I., “CHislennyj analiz zadachi Koshi dlya shirokogo klassa fraktal’nyh oscillyatorov”, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2018, №1(21), 93-116].
  17. Паровик Р. И., “Дробное исчисление в теории колебательных систем”, Современные наукоемкие технологии, 2017, №1, 61-68. [Parovik R. I., “Drobnoe ischislenie v teorii kolebatel’nyh sistem”, Sovremennye naukoemkie tekhnologii, 2017, №1, 61-68].

Список литературы (ГОСТ)

  1. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. IRE. 1962. no. 50. pp. 2061–2070
  2. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical Journal. 1961. no. 1. pp. 446-466
  3. Спиртус В. Б. Возможности биофизических моделей типа ФитцХью-Нагумо в отображении двумерной миграции сейсмичности // Геофизический журнал. 2010. Т. 32. no. 1. C. 134-143
  4. Parovik R. I. On a Credit Oscillatory System with the Inclusion of Stick-Slip // E3S Web of Conferences. 2016. vol. 11. ID. 00018
  5. Вронский А. П. Явление последействия в твердом теле // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1941. Т. 5. №1. С. 31–56
  6. Volterra V. Sur les Equations Integro-Differentielleset Leurs Applications // Acta Mathematica. 1912. vol. 35. no. 1. pp. 295-356
  7. Schroeder M. Fractals, chaos, power laws: Minutes from an infinite paradise: Freeman, 1992. 429 p.
  8. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier. 2006. 523 p.
  9. Lipko O. D. Mathematical model of nerve impulse propagation with regard to heredity // Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. 2017. vol. 16. no. 1. pp. 52-60.
  10. Липко О. Д. Динамическая система ФитцХью-Нагумо // Актуальные проблемы прикладной математики и физики. Материалы Международной научной конференции. Нальчик: ИПМА КБНЦ РАН, 2017. C. 126-127.
  11. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. № 2. C. 529-539.
  12. Caputo M. Elasticit ‘ a e dissipazione. Bologna: Zanichelli. 1969. 150 p.
  13. Липко О. Д., Паровик Р. И. Исследование хаотических и регулярных режимов фрактального осциллятора ФитцХью-Нагумо // Актуальные проблемы прикладной математики. Материалы IV Международной научной конференции. 2018. C. 157.
  14. Wolf A. et al. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985. vol. 16(3). pp. 285-317.
  15. Паровик Р. И. Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2017. 134 с.
  16. Паровик Р.И. Численный анализ задачи Коши для широкого класса фрактальных осцилляторов // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №1(21). С. 93-116.
  17. Паровик Р. И. Дробное исчисление в теории колебательных систем // Современные наукоемкие технологии. 2017. №1. С. 61-68.

Для цитирования: Липко О. Д. Исследование хаотических и регулярных режимов фрактального осциллятора ФитцХью-Нагумо // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 116-123. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-116-123.
For citation: Lipko O. D. Investigation of regular and chaotic modes of the FitzHugh- Nagumo fractal oscillator, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 116-123. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-116-123.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018

   Липко Ольга ДLipkoмитриевна – магистрант первого курса, направление подготовки «Прикладная математика и информатика», Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия.
   Lipko Olga Dmitrievna – first-year undergraduate training direction «Applied Mathematics and Informatics», Kamchatka Vitus Bering State University, Petropavlovsk-Kamchatsky, Russia.

Скачать статью Липко О.Д.