Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 52. №3. C. 44 — 52. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-44-52
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 517.58

Содержание выпуска

Read English Version

Некоммутативные сферические коды

К. М. Кришна^{\ast}

Факультет математики и естественных наук Главный кампус Университета Чанакья, NH-648,
деревня Харалуру, Северный округ Бангалора, Штат Карнатака, 562110, Индия

Аннотация. Сферические коды, имеющие богатую историю, охватывающую почти пять веков, остаются областью активных математических исследований и далеки от полного понимания. Эти коды, естественным образом возникающие в задачах геометрии, комбинаторики и теории информации, продолжают бросать вызов исследователям своей сложной структурой и нерешенными вопросами. Вдохновленные эвристическим принципом Пойа «вариации задачи», мы расширяем классическую модель, вводя понятие некоммутативных сферических кодов, уделяя особое внимание некоммутативной задаче Ньютона–Грегори о контактных числах. Это обобщение выходит за рамки традиционной евклидовой модели, охватывая область операторных алгебр и гильбертовых C*-модулей, открывая тем самым новые направления исследований. Краеугольным камнем в изучении сферических кодов является знаменитая граница линейного программирования Дельсарта–Гёталса–Зейделя–Кабатянского–Левенштейна, разработанная за последние полвека. Эта граница использует полиномы Гегенбауэра для установления точных верхних пределов размера сферических кодов и служит фундаментальным инструментом в теории кодирования и дискретной геометрии. Примечательно, что недавнее элегантное однострочное доказательство Пфендера [J. Combin. Theory Ser. A, 2007] представляет собой упрощенный вывод варианта этой границы. Мы показываем, что аргумент Пфендера может быть естественным образом распространен на случай гильбертовых C*-модулей, тем самым обогащая теорию некоммутативными аналогами.

Ключевые слова: сферический код, число Кисса, линейное программирование, C*-модуль Гильберта.

Получение: 08.11.2025; Исправление: 10.11.2025; Принятие: 18.11.2025; Публикация онлайн: 19.11.2025

Для цитирования. Krishna K. M. Noncommutative spherical codes // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки.
2025. Т. 52. № 3. C. 44-52. EDN: FQZUDX. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-44-52.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: kmaheshak@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Krishna K. M., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Zong C. Sphere packings, Universitext. New York: Springer-Verlag, 1999.
  2. Anstreicher K. M. The thirteen spheres: a new proof, Discrete Comput. Geom., 2004. vol. 31, no. 4,
    pp. 613–625.
  3. Bachoc C., Vallentin F. New upper bounds for kissing numbers from semidefinite programming, J. Amer. Math. Soc., 2008. vol. 21, no. 3, pp. 909–924.
  4. B¨or¨oczky K. The Newton-Gregory problem revisited, In Discrete geometry, 2003. vol. 253, pp. 103–110.
  5. Boyvalenkov P., Dodunekov S., Musin O.A survey on the kissing numbers, Serdica Math. J., 2012.
    vol. 38, no. 4, pp. 507–522.
  6. Casselman B. The difficulties of kissing in three dimensions, Notices Amer. Math. Soc., 2004. vol. 51, no. 8, pp. 884–885.
  7. Glazyrin A.A short solution of the kissing number problem in dimension three, Discrete Comput.
    Geom., 2023. vol. 69, no. 3, pp. 931–935.
  8. Jenssen M., Joos F., Perkins W.On kissing numbers and spherical codes in high dimensions, Adv.
    Math., 2018. vol. 335, pp. 307–321.
  9. Kallal K., Kan T., Wang E. Improved lower bounds for kissing numbers in dimensions 25 through
    31., SIAM J. Discrete Math., 2017. vol. 31, no. 3, pp. 1895–1908.
  10. Kuklin N. A. Delsarte method in the problem on kissing numbers in high-dimensional spaces, Proc.
    Steklov Inst. Math., 2014. vol. 284, no. 1, pp. S108–S123.
  11. Leech J.The problem of the thirteen spheres, Math. Gaz., 1956. no. 40, pp. 22–23.
  12. Liberti L. Mathematical programming bounds for kissing numbers / Optimization and decision
    science: methodologies and applications, Springer Proc. Math. Stat., vol. 217. Cham, Springer, 2017, pp. 213–222.
  13. Machado F. C., de Oliveira Filho F. M. Improving the semidefinite programming bound for the kissing
    number by exploiting polynomial symmetry, Exp. Math., 2018. vol. 27, no. 3, pp. 362–369.
  14. Maehara H. The problem of thirteen spheres-a proof for undergraduates, European J. Combin., 2007.
    vol. 28, no. 6, pp. 1770–1778.
  15. Mittelmann H. D., Vallentin F. High-accuracy semidefinite programming bounds for kissing numbers,
    Experiment. Math., 2010. vol. 19, no. 2, pp. 175–179.
  16. Musin O. R. The kissing problem in three dimensions, Discrete Comput. Geom., 2006. vol. 35, no. 3,
    pp. 375–384.
  17. Musin O. R. The kissing number in four dimensions, Ann. of Math., 2008. vol. 168, no. 1, pp. 1–32.
  18. Odlyzko A. M., Sloane N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit
    sphere in n dimensions, J. Combin. Theory Ser. A, 1979. vol. 26, no. 2, pp. 210–214.
  19. Pfender F. Improved Delsarte bounds for spherical codes in small dimensions, J. Combin. Theory
    Ser. A, 2007. vol. 114, no. 6, pp. 1133–1147.
  20. Pfender F., Ziegler G. M. Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs, Notices
    Amer. Math. Soc., 2004. vol. 51, no. 8, pp. 873–883.
  21. Sch¨utte K., van der Waerden B. L. Das Problem der dreizehn Kugeln, Math. Ann., 1953. no. 125,
    pp. 325–334.
  22. Bachoc C., Vallentin F. Semidefinite programming, multivariate orthogonal polynomials, and codes
    in spherical caps, European J. Combin., 2009. vol. 30, no. 3, pp. 625–637.
  23. Bannai E.,Etsuko Bannai E.A survey on spherical designs and algebraic combinatorics on spheres,
    European J. Combin., 2009. vol. 30, no. 6, pp. 1392–1425.
  24. Bannai E., Sloane N. J. A. Uniqueness of certain spherical codes, Canadian J. Math., 1981. vol. 33,
    no. 2, pp. 437–449.
  25. Barg A., Musin O. R. Codes in spherical caps, Adv. Math. Commun., 2007. vol. 1, no. 1, pp. 131–149.
  26. B¨or¨oczky K. J., Glazyrin A. Stability of optimal spherical codes, Monatsh. Math., 2024. vol. 205,
    no. 3, pp. 455–475.
  27. Boyvalenkov P. G., Dragnev P. D., Hardin D.P., Saff E. B., Stoyanova M. M. Universal lower bounds
    for potential energy of spherical codes, Constr. Approx., 2016. vol. 44, no. 3, pp. 385–415.
  28. Boyvalenkov P. G., Dragnev P. D., Hardin D.P., Saff E. B., Stoyanova M. M. Bounds for spherical
    codes: the Levenshtein framework lifted, Math. Comp., 2021. vol. 90, no. 329, pp. 1323–1356.
  29. Boyvalenkov P., Danev D. On maximal codes in polynomial metric spaces / Applied algebra,
    algebraic algorithms and error-correcting codes, Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 1255. Berlin,
    Springer, 1997, pp. 29–38.
  30. Boyvalenkov P., Danev D., Landgev I.On maximal spherical codes. II, J. Combin. Des., 1999. vol. 7,
    no. 5, pp. 316–326.
  31. Cohn H., Jiao Y., Kumar A., Torquato S. Rigidity of spherical codes, Geom. Topol., 2011. vol. 15,
    no. 4, pp. 2235–2273.
  32. Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere packings, lattices and groups. New York: Springer-Verlag,
    1999.
  33. Delsarte P., Goethals J. M., Seidel J. J. Spherical codes and designs, Geometriae Dedicata, 1977. vol. 6,
    no. 3, pp. 363–388.
  34. Ericson T., Zinoviev V. Codes on Euclidean spheres, North-Holland Mathematical Library, vol. 63.
    Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 2001.
  35. Musin O. R. Bounds for codes by semidefinite programming, Tr. Mat. Inst. Steklova, 2008. no. 263,
    pp. 143–158.
  36. Samorodnitsky A.On linear programming bounds for spherical codes and designs, Discrete Comput.
    Geom., 2004. vol. 31, no. 3, pp. 385–394.
  37. Sardari N. T., Zargar M. New upper bounds for spherical codes and packings, Math. Ann., 2024.
    vol. 389, no. 4, pp. 3653–3703.
  38. Sloane N. J. A.Tables of sphere packings and spherical codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 1981.
    vol. 27, no. 3, pp. 327–338.
  39. Cohn H., Zhao Y. Sphere packing bounds via spherical codes, Duke Math. J., 2014. vol. 163, no. 10,
    pp. 1965–2002.
  40. Wegge-Olsen N. E. K-theory and C*-algebras: a friendly approach. Oxford: Oxford University
    Press, 1993.

Информация об авторе

Кришна Махеш – PhD по физико-математическим наукам, доцент, факультет математики и естественных наук, глобальный кампус Университета Чанакья, Харалуру, Индия, ORCID 0000-0003-4872-8634.

Читать статьюСкачать статью