Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 56-65. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-56-65

УДК 517.95 + 51-7

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА

К.У. Хубиев

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А
E-mail: khubiev_math@mail.ru

В явном виде выписано решение задачи Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа второго порядка, предложенного в качестве математической модели уравнения Аллера при определенных условиях.

Ключевые слова: Математическая модель уравнения, нагруженное уравнение, уравнение Аллера, задача Гурса.

© Хубиев К.У., 2016

MSC 34L99

ON MATHEMATICAL MODELS OF THE ALLER EQUATION

K. U. Khubiev

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia
E-mail: khubiev_math@mail.ru

The solution to the Goursat problem is written out explicitly for a hyperbolic secondorder
loaded equation, proposed as a mathematical model of Aller equation under certain conditions.

Key words: Key words: equation mathematic model, loaded equation, Aller equation, Goursat problem.

© Khubiev K. U., 2016

Список литературы/References

  1. Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995 301, [Nakhushev A. M., Uravneniya matematicheskoy biologii, Vyssh. shk., M., 1995. 301 p. (in Russian)].
  2. Янгарбер В. А., “Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопереноса”, 1966, №8, 46–48, [Yangarber V. A., Setochnaya skhema dlya resheniya modifitsirovannogo uravneniya vlagoperenosa, 1966, №8, 46–48. (in Russian)].
  3. Водахова В. А., “Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса”, Дифференц. уравнения, 18:2 (1982), 280–285, [Vodakhova V. A., Kraevaya zadacha s nelokal’nym usloviem A. M. Nakhusheva dlya odnogo psevdoparabolicheskogo uravneniya vlagoperenosa, Differents. uravneniya, 18:2 (1982), 280–285 (in Russian)].
  4. Шхануков М. X., “О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах”, Дифференц. уравнения, 18:4 (1982), 689–699, [ Shkhanukov M. X. O nekotorykh kraevykh zadachakh dlya uravneniya tret’ego poryadka, voznikayushchikh pri modelirovanii fil’tratsii zhidkosti v poristykh sredakh, Differents. uravneniya, 18:4 (1982), 689–699 (in Russian)].
  5. Солдатов А. П., Шхануков М. Х., “Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка”, Докл. АН СССР, 297:3 (1987), 547–551, [Soldatov A. P., Shkhanukov M. Kh. Kraevye zadachi s obshchim nelokal’nym usloviem A.A. Samarskogo dlya psevdoparabolicheskikh uravneniy vysokogo poryadka, Dokl. AN SSSR, 297:3 (1987), 547–551. (in Russian)].
  6. Жегалов В. И., Уткина Е. А., “Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка”, Известия Вузов. Математика, 1999, №10(449), 73–76, [Zhegalov V. I., Utkina E. A. Ob odnom psevdoparabolicheskom uravnenii tret’ego poryadka, Izvestiya Vuzov. Matematika, 1999, №10(449), 73–76 (in Russian)].
  7. Кожанов А. И., “Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера”, Дифференц. уравнения, 40:6 (2004), 769–774, [ Kozhanov A. I. Ob odnoy nelokal’noy kraevoy zadache s peremennymi koeffitsientami dlya uravneniy teploprovodnosti i Allera, Differents. uravneniya, 40:6 (2004), 769–774 (in Russian)].
  8. Кожанов А. И., Попов Н. С., “О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений”, Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика, 10:3 (2010), 46–62, [Kozhanov A. I., Popov N. S. O razreshimosti nekotorykh zadach so smeshcheniem dlya psevdoparabolicheskikh uravneniy, Vestnik NGU. Seriya: Matematika, mekhanika, informatika, 10:3 (2010), 46–62 (in Russian)].
  9. Макаова Р. Х., “Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Аллера”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 14:3 (2012), 19–23, [Makaova R. Kh. Ob odnoy kraevoy zadache dlya obobshchennogo uravneniya Allera, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 14:3 (2012), 19–23 (in Russian)].
  10. Макаова Р. Х., “Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 35–38, [Makaova R. Kh. Vtoraya kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoy proizvodnoy Rimana-Liuvillya, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:3 (2015), 35–38 (in Russian)].
  11. Нахушев А. М., “Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги”, Доклады АН СССР, 242:5 (1978), 1008-1011, [Nakhushev A. M. Nelokal’naya zadacha i zadacha Gursa dlya nagruzhennogo uravneniya giperbolicheskogo tipa i ikh prilozheniya k prognozu pochvennoy vlagi, Doklady AN SSSR, 242:5 (1978), 1008-1011 (in Russian)].
  12. Нахушев А. М., Нагруженные уравнения и их применения, Наука, М., 2012, 232 с., [Nakhushev A. M. Nagruzhennye uravneniya i ikh primeneniya, Nauka, M., 2012, 232 p. (in Russian)].
  13. Нахушев А. М., “Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод”, Дифференц. уравнения, 18:1 (1982), 72–81, [Nakhushev A. M. Ob odnom priblizhennom metode resheniya kraevykh zadach dlya differentsial’nykh uravneniy i ego prilozheniya k dinamike pochvennoy vlagi i gruntovykh vod, Differents. uravneniya, 18:1 (1982), 72–81 (in Russian)].
  14. Нахушев А. М., “О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка”, Дифференц. уравнения, 12:1 (1976), 103–108, [Nakhushev A. M. O zadache Darbu dlya odnogo vyrozhdayushchegosya nagruzhennogo integrodifferentsial’nogo uravneniya vtorogo poryadka, Differents. uravneniya, 12:1 (1976), 103–108 (in Russian)].
  15. Ozturk Ilhan, “Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 1:2 (1995), 12–17, [Ozturk Ilhan. Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 1:2 (1995), 12–17].
  16. Токова А. А., “Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных”, 2006, №43, 178–181, [Tokova A. A. Zadacha s nelokal’nymi kraevymi usloviyami dlya odnogo klassa nagruzhennykh differentsial’nykh uravneniy v chastnykh proizvodnykh, 2006, №43,178–181 (in Russian)].
  17. Токова А. А., “Краевая задача с условиями Пуанкаре для линейного нагруженного дифференциального уравнения с частными производными параболического типа”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 9:1 (2007), 110–112, [Tokova A. A. Kraevaya zadacha s usloviyami Puankare dlya lineynogo nagruzhennogo differentsial’nogo uravneniya s chastnymi proizvodnymi parabolicheskogo tipa, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 9:1 (2007), 110–112 (in Russian)].
  18. Хуштова Ф. Г., “Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа со знакопеременной характеристической формой”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 13:2 (2011), 71–76, [Khushtova F. G. Nelokal’naya kraevaya zadacha dlya nagruzhennogo uravneniya parabolicheskogo tipa so znakoperemennoy kharakteristicheskoy formoy, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 13:2 (2011), 71–76 (in Russian)].
  19. Frost M. B., “Solvability of an initial-boundary problem for a loaded wave equation”, Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета, 2011, №2(35), 88-81, [ Frost M. B. Solvability of an initial-boundary problem for a loaded wave equation, Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta, 2011, №2(35), 88-81].
    [20] Гогуноков З. Г., “Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук”, 5:1 (2000), 20–23, [Khubiev K. U. Ob odnoy modeli nagruzhennogo giperbolo-parabolicheskogo uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka s kharakteristicheskim izmeneniem tipa, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:2 (2015), 48–51. (in Russian)].
  20. Хубиев К.У., “Об одной модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа”, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:2 (2015), 48–51, [Khubiev K.U. Ob odnoy modeli nagruzhennogo giperbolo-parabolicheskogo uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka s kharakteristicheskim izmeneniem tipa, Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk, 17:2 (2015), 48–51. (in Russian)].
  21. Хубиев К.У., “О модели нагруженного гиперболо–параболического уравнения в частных производных второго порядка”, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2015, №2(11), 27–38, [Khubiev K.U. O modeli nagruzhennogo giperbolo–parabolicheskogo uravneniya v chastnykh proizvodnykh vtorogo poryadka, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2015, №2(11), 27–38 (in Russian)].
  22. Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с., [Pskhu A. V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka, Nauka, Moskva, 2005, 199 p. (in Russian)].
  23. Псху А. В., “Решение двумерного интегрального уравнения Абеля второго рода”, Известия КБНЦ РАН, 2016, №6(74), [Pskhu A.V. Reshenie dvumernogo integral’nogo uravneniya Abelya vtorogo roda, Izvestiya KBNTs RAN, 2016, №6(74) (in Russian)].
  24. Диткин В. А., Прудников Ф. П., Операционное исчисление по двум переменным и его приложения, Физматлит, М., 1959, 178 с., [Ditkin V. A., Prudnikov F. P., Operatsionnoe ischislenie po dvum peremennym i ego prilozheniya, Fizmatlit, M., 1959, 178 p. (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

  1.  Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
  2. Янгарбер В. А. Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопереноса // Доклады академии сельскохозяйственных наук. 1966. № 8. С. 46–48.
  3. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 2. С. 280–285.
  4. Шхануков М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689–699.
  5. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С. 547–551.
  6. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Известия Вузов. Математика. 1999. № 10(449). С. 73–76.
  7. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 769–774.
  8. Кожанов А. И., Попов Н. С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, вып. 3. C. 46–62.
  9. Макаова Р. Х. Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Аллера // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14. № 3. С. 19–23.
  10. Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т. 17. № 3. С. 35–38.
  11. Нахушев А. М. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Доклады АН СССР. 1978. Т. 242, № 5. С. 1008-1011.
  12. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012. 232 с.
  13. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 72–81.
  14. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 103–108.
  15. Ozturk Ilhan Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. Т. 1, № 2. С. 12–17.
  16. Токова А. А. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2006. № 43. С. 178–181.
  17. Токова А. А. Краевая задача с условиями Пуанкаре для линейного нагруженного дифференциального уравнения с частными производными параболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9, № 1. С. 110–112.
  18. Хуштова Ф. Г. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа со знакопеременной характеристической формой // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13. № 2. С. 71–76.
  19. Frost M. B. Solvability of an initial-boundary problem for a loaded wave equation // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета. 2011, № 2(35). С. 88-81.
  20. Гогуноков З. Г. Задача Гурса для нагруженного гиперболического уравнения второго порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2000. Т. 5, № 1. С. 20–23.
  21. Хубиев К.У. Об одной модели нагруженного гиперболо-параболического уравнения в частных производных второго порядка с характеристическим изменением типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, № 2. С. 48–51.
  22. Хубиев К.У. О модели нагруженного гиперболо–параболического уравнения в частных производных второго порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 2(11). С. 27–38.
  23. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  24. Псху А. В. Решение двумерного интегрального уравнения Абеля второго рода // Известия КБНЦ РАН. 2016. № 6(74).
  25. Диткин В. А., Прудников Ф. П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложения. М.: Физматлит, 1959. 178 с.

Для цитирования: Хубиев К.У. О математической модели уравнения Аллера // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 56-65. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-56-65

For citation: Khubiev K. U. On mathematical models of the Aller equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 56-65. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-56-65

Поступила в редакцию / Original article submitted: 17.11.2016

khub  Хубиев Казбек Узеирович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела Уравнений смешанного типа Институт прикладной математики и автоматизации,
Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, Россия.
Khubiev Kazbek Uzeirovich – Ph.D. (Phys. & Math.), Senior Researcher of the Dept. Mixed type equations, Institute of Applied Mathematics and Automation, Nalchik, Russia.

1

1

Скачать статью Khubiev K.U.