Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026.Т. 54. №1. C. 72 — 92. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-72-92
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 519.17

Содержание выпуска

Read English Version

О мерах нерегулярности в деревьях с последовательностями степеней Фибоначчи

Ж. Хамуд¹, А. Я. Белов¹, Д. Абдулла^{\ast}¹, M. Альмахалеби²

¹Московский физико-технический институт, Институтский пер. 9, Долгопрудный, 141700 Россия
²Университет Ибн Тофайла, Кенитра, Университетский кампус, B.P. 242, 14000, Марокко

Аннотация. В данной работе топологические индексы, основанные на степенях вершин, являются фундаментальными инвариантами графа, используемыми для количественной оценки структурной нерегулярности. Пусть G = (V, E) — простое дерево со степенями вершин dv для v \in V(G). В данной работе исследуются деревья, последовательности степеней вершин которых определяются числами Фибоначчи \{F_k\}_{k \geq 3}, называемые здесь деревьями Фибоначчи. Особое внимание уделяется индексу Альбертсона и индексу Сигма: \sigma(G) =\sum\limits_{uv \in E(G)}(du − dv)^2, оба измеряют нерегулярность степеней вдоль ребер графа. Во-первых, охарактеризуем последовательности степеней Фибоначчи, реализуемые деревьями, и опишем их ключевые структурные свойства. Используя рекурсивную природу последовательности Фибоначчи, мы выводим явное выражение в замкнутой форме для индекса Альбертсона деревьев Фибоначчи через F_k. Эта формула показывает, как рекурсивные ограничения степеней влияют на дисбаланс степеней ребер. Затем устанавливаются точные нижние и верхние границы как для irr(G), так и для \sigma(G) для деревьев фиксированного порядка с заданными последовательностями степеней. Идентифицируются экстремальные деревья, достигающие этих границ, и включают пути, звезды и некоторые звездообразные конфигурации. Эти результаты расширяют известные экстремальные свойства топологических индексов, основанных на степенях, и иллюстрируют специфическое влияние последовательностей степеней Фибоначчи на нерегулярность дерева. Исследование предлагает новые идеи относительно рекурсивно ограниченных последовательностей степеней и указывает на перспективные направления для дальнейшего анализа структурированных деревьев с использованием алгебраических и комбинаторных методов.

Ключевые слова: деревья, последовательность, Загреб, топологический, Фибоначчи, изоморфный

Получение: 06.02.2026; Исправление: 16.02.2026; Принятие: 23.03.2026; Публикация онлайн: 29.03.2026

Для цитирования. Hamoud J., Belov A.Ya., Abdullah D., Almahalebi M. On irregularity measures in trees with Fibonacci degree sequences // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2026. Т. 54. № 1. C. 72-92. EDN: YJJZFW. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2026-54-1-72-92.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: abdulla.d@phystech.edu

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Hamoud J., Belov A.Ya., Abdullah D., Almahalebi M., 2026

© ИКИР ДВО РАН, 2026 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Haynes, T. W., Hedetniemi, S. T., Slater, P. J. Fundamentals of domination in graphs, Marcel Dekker, Inc, 1998.
  2. Dorjsembe S., Buyantogtokh L., Gutman I., Horoldagva B., Réti T. Irregularity of Graphs, J. Commun. Math. Comput. Chem, 2023. vol. 89, pp. 371–388 DOI: 10.46793/match.89-2.371D.
  3. Albertson M. O. The irregularity of graph, Ars Comb, 1997. vol. 46, pp. 2015–2025.
  4. Gutman I., Hansen P., Melót H.Variable neighborhood search for extremal graphs 10. Comparison of irregularity indices for chemical trees, J. Chem. Inf. Model, 2005. vol. 45, pp. 222–230 DOI: 10.1021/ci0342775.
  5. Abdo H., Brandt S., Dimitrov D. The total irregularity of a graph, Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science, 2014. vol. 16, no. 1, pp. 201–206 DOI: 10.46298/dmtcs.1263.
  6. Bell F. K.A note on the irregularity of graphs, Lin. Algebra Appl, 1992. vol. 161, pp. 45–54 DOI: 10.1016/0024-3795(92)90004-T.
  7. Ali A., Dimitrov D., Réti T., Albalahi A. M., Hamza A. E. Bounds and Optimal Results for the Total Irregularity Measure, arXiv e-prints, 2025.
  8. Ashrafi A., Ghalavand A., Dimitrov D.On The Irregularity Of Graphs Based On The Arithmetic–geometric Mean Inequality, Math. Inequal. Appl, 2023. vol. 26, no. 1, pp. 151–160 DOI: 10.7153/mia-2023-26-12.
  9. Zhang X. M., Zhang X. D., Gray D., Wang H. The number of subtrees of trees with given degree sequence, J. Graph Theory, 2013. vol. 73, no. 3, pp. 280–295 DOI: 10.1002/jgt.21674.
  10. Lina Z., Zhoub T., Miaob L. The general Albertson irregularity index of graphs, AIMS Math, 2024. vol. 7, no. 1, pp. 267–282 DOI: 10.3934/math.2022002.
  11. Andriantiana E. O. D., Wagner S. Spectral moments of trees with given degree sequence, Linear Algebra Appl, 2013. vol. 439, no. 12, pp. 3980–4002 DOI: 10.1016/j.laa.2013.10.019.
  12. Molloy M., Reed B.A critical point for random graphs with a given degree sequence, Random Struct. Algorithms, 1995. vol. 6, no. 2-3, pp. 161–180 DOI: 10.1002/rsa.3240060204.
  13. Chartrand G., Zhang P.A first course in graph theory, Dover Publications, 2012.
  14. Ghalavand A., Ashrafi A., Réti T. Ordering of c-cyclic graphs with respect to total irregularity, Math. Inequal. Appl, 2023. vol. 26, no. 1, pp. 151–160.
  15. Gutman I., Trinajstić N. Graph theory and molecular orbitals. Total p-electron energy of alternant hydrocarbons, Chem. Phys. Lett., 1972. vol. 17, pp. 535–538 DOI: 10.1016/0009-2614(72)85099-1.
  16. Gutman I., Russcić B., Trinajstić N., Wilcox C. F. Graph theory and molecular orbitals. XII Acyclic polyens, J. Chem. Phys, 1975. vol. 62, pp. 3399–3405 DOI: 10.1063/1.430994.
  17. Nikolić S., Kovačević G., Milićević A., Trinajstić N. The Zagreb indices 30 years after, Croat. Chem. Acta, 2003. vol. 76, no. 2, pp. 113–124.
  18. Gutman I., Togan M., Yurttas A., Cevik A. S., Cangul I. N. Inverse problem for sigma index, MATCH Commun. Math. Comput. Chem, 2018. vol. 79, no. 3, pp. 491–508.
  19. Abdo H., Dimitrov D., Gutman I.Graphs with maximal σ irregularity, Discrete Appl. Math, 2018.
  20. Kuzmin N. A., Malyshev D. S. About 5- and 6-leaf trees with the largest number of combinations, Math. Notes, 2024. vol. 115, no. 3, pp. 371–384 DOI: 10.1134/S0001434624030064.
  21. Clark L. H., Székely L. A., Entringer R. C. An inequality for degree sequences, Discrete Math, 1992. vol. 103, pp. 293–300 DOI: 10.1016/0012-365X(92)90321-6.
  22. Yang J., Deng H. The Extremal Sigma Index of Connected Graphs with Given Number of Pendant Vertices, Research Square, 2023 DOI: 10.21203/rs.3.rs-2646370/v1.
  23. Nasiri R., Fath G. H., Gutman I. Extremely Irregular Trees, Bull. Acad. Sci. Serbe, Classe Sci. Math. Nat, 2013. vol. 38.
  24. Hamoud J., Abdullah D. Albertson index and Sigma index in trees given by degree sequences, Chebyshevskii sbornik, 2025. vol. 26, no. 3, pp. 274–283 DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-3-274-283.
  25. Hamoud J., Belov A. Ya. Extremal topological indices with prescribed degree sequences, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki, 2025. vol. 53, no. 4, pp. 9–28 DOI: 10.26117/2079-6641-2025-53-4-9-28.
  26. Hamoud J., Abdullah, D. Irregularity and topological indices in fibonacci word trees and modified Fibonacci word index, Chebyshevskii sbornik, 2025. vol. 26, no. 3, pp. 257–273 DOI: 10.22405/2226-8383-2025-26-3-257-273.
  27. Sun X., Du J., Mei Y. on the sigma index of chemical graphs with a given order, number of edges and pendent vertices, J. COMBIN. MATH. COMBIN. COMPUT,2025. vol. 127, no. 75 DOI: 10.61091/jcmcc127-05.
  28. Furtula B., Gutman I.A forgotten topological index, J. Math. Chem, 2015. vol. 53, no. 4, pp. 1184–1190 DOI: 10.1007/s10910-015-0480-z.

Хамуд Жасем – аспирант, Московский физико-технический институт, Россия, ORCID 0009-0002-0192-3627.

Белов Алексей Яковлевич – доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Московского института физики и технологий, Россия, ORCID 0000-0002-1371-7479

Абдулла Дуаа – аспирант, Московский физико-технический институт, Россия, ORCID 0009-0008-6855-1729.

Альмахалеби Муаад – доктор философии по физико- математическим наукам, профессор, главный научный сотрудник кафедры математики факультета естественных наук Университета Ибн Тофайла, Кенитра, Марокко, ORCID 0000-0003-0647-8286.

Читать статьюСкачать статью