Вестник КРАУНЦ.Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. №3. C. 165-188. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

PHYSICS

MSC 83C57, 33E05

Research Article

The role of elliptic integrals in calculating the gravitational lensing of a charged Weyl black hole surrounded by plasma

M. Fathi, J. R. Villanueva

Instituto de F´isica y Astronom´ia, Universidad de Valpara´iso, Avenida Gran Breta˜na 1111, Valpara´iso, Chile

E-mail: mohsen.fathi@postgrado.uv.cl, jose.villanueva@uv.cl

In this paper, we mainly aim at highlighting the importance of (hyper-)elliptic integrals in the study of gravitational effects caused by strongly gravitating systems. For this, we study the application of elliptic integrals in calculating the light deflection as it passes a plasmic medium, surrounding a charged Weyl black hole. To proceed with this, we consider two specific algebraic ansatzes for the plasmic refractive index, and we characterize the photon sphere for each of the cases. This will be used further to calculate the angular diameter of the corresponding black hole shadow. We show that the complexity of the refractive index expressions, can result in substantially different types of dependencies of the light behavior on the spacetime parameters.

Keywords: elliptic integrals, light deflection, black holes

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-165-188

Original article submitted: 26.08.2021

Revision submitted: 16.10.2021

For citation. Fathi M., Villanueva J. R. The role of elliptic integrals in calculating the gravitational lensing of a charged Weyl black hole surrounded by plasma. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 36: 3, 165-188. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-165-188

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International
License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Fathi M., Villanueva J. R., 2021

Funding. M. Fathi has been supported by the Agencia Nacional de Investigaci´on y Desarrollo (ANID) through DOCTORADO Grant No. 2019-21190382, and No. 2021-242210002. J. R. Villanueva was partially supported by the Centro de Astrof´isica de Valpara´iso (CAV)s.

ФИЗИКА

УДК 524.882

Научная статья

Роль эллиптических интегралов в расчете гравитационного линзирования заряженной черной дыры Вейля, окруженной плазмой

М. Фатхи, Дж. Р. Вильянуэва

Институт физики и астрономии, Университет Вальпараизо, Авенида Гран Брета, 1111, Вальпараизо, Чили

E-mail: mohsen.fathi@postgrado.uv.cl, jose.villanueva@uv.cl

В этой статье мы в основном стремимся подчеркнуть важность (гипер) эллиптических интегралов в изучении гравитационных эффектов, вызванных сильно гравитирующими системами. Для этого мы изучаем применение эллиптических интегралов при вычислении отклонения света при его прохождении через плазменную среду, окружающую заряженную черную дыру Вейля. Чтобы продолжить это, мы рассмотрим два конкретных алгебраических анзаца для показателя преломления плазмы и охарактеризуем фотонную сферу для каждого из случаев. Это будет использоваться в дальнейшем для вычисления углового диаметра соответствующей тени черной дыры. Мы показываем, что сложность выражений показателя преломления может привести к существенно разным типам зависимостей поведения света от пространственно-временных параметров.

Ключевые слова: эллиптические интегралы, отклонение света, черные дыры

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-165-188

Поступила в редакцию: 26.08.2021

В окончательном варианте: 16.10.2021

Для цитирования. Fathi M., Villanueva J. R. The role of elliptic integrals in calculating the gravitational lensing of a charged Weyl black hole surrounded by plasmas // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. № 3. C. 165-188. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-165-188

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют, что конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Фатхи М., Вильянуэва Дж. Р., 2021

Финансирование. М. Фатхи получил поддержку Национального агентства исследований Дезарролло (ANID) в рамках грантов DOCTORADO № 2019-21190382 и № 2021-242210002. Дж. Р. Вильянуэва был частично поддержан Центром астрофизики Вальпара (CAV).и т.д.

References

  1. Eddington A. S. Space, Time, and Gravitation: An Outline of the General Relativity Theory: Cambridge University Press, 1920.
  2. Hagihara Y. Theory of the Relativistic Trajeetories in a Gravitational Field of Schwarzschild // Japanese Journal of Astronomy and Geophysics. vol. 8, pp. 67.
  3. Darwin C. G. The gravity field of a particle // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 1959. vol. 249, no. 257, pp. 180–194.
  4. Darwin C. G. The gravity field of a particle. II // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 1961. vol. 263, no. 1312, pp. 39–50.
  5. Rauch K.P. , Blandford R. D. Optical Caustics in a Kerr Spacetime and the Origin of Rapid X-Ray Variability in Active Galactic Nuclei // The Astrophysical Journal. vol. 421, pp. 46.
  6. Beckwith K., Done C. Extreme gravitational lensing near rotating black holes // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2005. vol. 359, no. 4, pp. 1217–1228.
  7. Hackmann E., Kagramanova V., Kunz J., Lammerzahl C. Analytic solutions of the geodesic equation in higher dimensional static spherically symmetric spacetimes // Phys. Rev. D, 2008. vol. 78, pp. 124018.
  8. Hackmann E., Lammerzahl C. Complete analytic solution of the geodesic equation in schwarzschild–(anti-)de sitter spacetimes // Phys. Rev. Lett., 2008. vol. 100, pp. 171101.
  9. Hackmann E., Lammerzahl C. Geodesic equation in schwarzschild-(anti-) de sitter space-times: Analytical solutions and applications // Phys. Rev. D, 2008. vol. 78, pp. 024035.
  10. Hackmann E., Lammerzahl C. Hyperelliptic functions and geodesic equations //PAMM,2008. vol. 8, no. 1, pp. 10723–10724.
  11. Bisnovatyi-Kogan G. S., Tsupko O.Y. Strong gravitational lensing by schwarzschild black holes // Astrophysics, 2008. vol. 51, pp. 99–111.
  12. Hackmann E., Kagramanova V., Kunz J., Lammerzahl C. Analytic solutions of the geodesic equation in axially symmetric space-times // EPL (Europhysics Letters), 2009. vol. 88, pp. 30008.
  13. Hackmann E., Lammerzahl C., Kagramanova V., Kunz J. Analytical solution of the geodesic equation in kerr-(anti-) de sitter space-times // Phys. Rev. D, 2010. vol. 81, pp. 044020.
  14. Hackmann E., Hartmann B., Lammerzahl C., Sirimachan P. Complete set of solutions of the geodesic equation in the space-time of a schwarzschild black hole pierced by a cosmic string // Phys. Rev.
    D, 2010. vol. 81, pp. 064016.
  15. Grunau S., Kagramanova V. Geodesics of electrically and magnetically charged test particles in the reissner-nordstrom space-time: Analytical solutions // Phys. Rev. D, 2011. vol. 83, pp. 044009.
  16. Hackmann E., Lammerzahl C. Observables for bound orbital motion in axially symmetric spacetimes // Phys. Rev. D, 2012. vol. 85, pp. 044049.
  17. Gibbons G. W., Vyska M. The application of weierstrass elliptic functions to Schwarzschild null geodesics // Classical and Quantum Gravity, 2012. vol. 29, pp. 065016.
  18. Hackmann E., Lammerzahl C., Mac’ıas A., Maceda M. Analytical solution methods for geodesic motion // AIP Conference Proceedings, 2014. vol. 1577, no. 1, pp. 78–88.
  19. Munoz G. Orbits of massless particles in the schwarzschild metric: Exact solutions // American Journal of Physics, 2014. vol. 82, no. 6, pp. 564–573.
  20. Lammerzahl C., Hackmann E. Analytical Solutions for Geodesic Equation in Black Hole Spacetimes // Springer Proc. Phys., 2016. vol. 170, pp. 43–51.
  21. De Falco V., Falanga M., and Stella L. Approximate analytical calculations of photon geodesics in the schwarzschild metric // Astronomy & Astrophysics, 2016. vol. 595, pp. A38.
  22. Barlow N. S., Weinstein S. J., Faber J. A. An asymptotically consistent approximant for the equatorial bending angle of light due to kerr black holes // Classical and Quantum Gravity, 2017. vol. 34, pp. 135017.
  23. Jusufi K., Sarkar N., Rahaman F., Banerjee A., Hansraj S. Deflection of light by black holes and massless wormholes in massive gravity // The European Physical Journal C, 2018. vol. 78, pp. 349.
  24. Ghaffarnejad H., Amirmojahedi M., Niad H. Gravitational lensing of charged ayon-beatogarcia black holes and nonlinear effects of maxwell fields //Advances in High Energy Physics, 2018. vol. 2018, pp. 3067272.
  25. Villanueva J. R., Tapia F., Molina M., Olivares M. Null paths on a toroidal topological black hole in conformal Weyl gravity // Eur. Phys. J., 2018. vol. C78, pp. 10.
  26. Hsiao Y.-W., Lee D.-S., Lin C.-Y. Equatorial light bending around kerr-newman black holes // Phys. Rev. D, 2020. vol. 101, pp. 064070.
  27. Vankov K.Particle Orbits in General Relativity: from Planetary Solar System to Black Hole // Environment., 2017.
  28. Bisnovatyi-Kogan G. S., Tsupko O.Yu. Gravitational Lensing in Presence of Plasma: Strong Lens Systems, Black Hole Lensing and Shadow// Universe, 2017. vol. 3, no. 3, pp. 57.
  29. Payandeh F., Fathi M. Spherical Solutions due to the Exterior Geometry of a Charged Weyl Black Hole // Int. J. Theor. Phys., 2012. vol. 51, pp. 2227–2236.
  30. Fathi M., Olivares M., Villanueva J. R. Classical tests on a charged weyl black hole: bending of light, shapiro delay and sagnac effect // The European Physical Journal C, 2020. vol. 80, pp. 51.
  31. Fathi M., Kariminezhaddahka M., Olivares M., Villanueva J. R. Motion of massive particles around a charged Weyl black hole and the geodetic precession of orbiting gyroscopes // European Physical Journal C, 2020. vol. 80, pp. 377.
  32. Fathi M., Olivares M., Villanueva J. R. Gravitational Rutherford scattering of electrically charged particles from a charged Weyl black hole // The European Physical Journal Plus, 2021. vol. 136, pp. 420.
  33. Fathi M., Olivares M., Villanueva J. R. Ergosphere, photon region structure, and the shadow of a rotating charged weyl black hole // Galaxies, 2021. vol. 9, no. 2.
  34. Navarro J. F., Frenk C. S., White S. D. M. Simulations of X-ray clusters // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1995. vol. 275, pp. 720–740.
  35. Navarro J. F., Frenk C. S., White S. D. M. The structure of cold dark matter halos // The Astrophysical Journal, 1996. vol. 462, pp. 563.
  36. Gordon W. Zur lichtfortpflanzung nach der relativitatstheorie // Annalen der Physik, 1923. vol. 377, no. 22, pp. 421–456.
  37. Plebanski J. Electromagnetic waves in gravitational fields // Phys. Rev., 1960. vol. 118, pp. 1396–1408.
  38.  de Felice F. On the gravitational field acting as an optical medium // General Relativity and Gravitation, 1971. vol. 2, pp. 347–357.
  39. J. L. Synge Relativity: The general theory. Series in Physics. Amsterdam: North-Holland Publication Co, 1960.
  40. Ehlers J.Transition from the wave optics to geometrical optics in general relativity theory // Z. Naturforsch., 1968. vol. 22a, pp. 1328–32.
  41. Chen B., Kantowski R. Including absorption in gordon’s optical metric // Phys. Rev. D, 2009. vol. 79, pp. 104007.
  42. Chen B., Kantowski R. Distance redshift from an optical metric that includes absorption // Phys. Rev. D, 2009. vol. 80, pp. 044019.
  43. Thompson R. T. Covariant electrodynamics in linear media: Optical metric // Phys. Rev. D, 2018. vol. 97, pp. 065001.
  44. Mannheim P. D., Kazanas D. Exact vacuum solution to conformal weyl gravity and galactic rotation curves // Astrophysical Journal, 1989. vol. 342, pp. 635–638.
  45. Bach R. Zur Weylschen Relativitatstheorie und derWeylschen Erweiterung des Krummungstensorbegriffs // Mathematische Zeitschrift, 1921. vol. 9, pp. 110–135.
  46. Szekeres P. Conformal Tensors // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 1968. vol. 304, no. 1476, pp. 113–122.
  47. Perlick V., Tsupko O.Yu., Bisnovatyi-Kogan G. S. Influence of a plasma on the shadow of a spherically symmetric black hole // Phys. Rev., 2015. vol. D92, no. 10, pp. 104031.
  48. P. Byrd and M. Friedman Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, 1971.
  49. Chandrasekhar S. The mathematical theory of black holes, Oxford classic texts in the physical sciences. Oxford: Oxford Univ. Press, 2002.
  50. Tsukamoto N. Black hole shadow in an asymptotically flat, stationary, and axisymmetric spacetime: The kerr-newman and rotating regular black holes // Phys. Rev. D, 2018. vol. 97, pp. 064021.
  51. Perlick V., Tsupko O. Y. Light propagation in a plasma on kerr spacetime: Separation of the Hamilton-Jacobi equation and calculation of the shadow// Phys. Rev. D, 2017. vol. 95, pp. 104003.
  52. Singh B.P., Ghosh S. G. Shadow of Schwarzschild–Tangherlini black holes // Annals Phys., 2018. vol. 395, pp. 127–137.

Fathi Moshen – Ph.D. student in the Instituto de F´ısica y Astronom´ıa in Universidad de Valpara´ıso in Chile, Chile.

Фатхи Мошен – аспирант Института физики и астрономии Университета Вальпараисо в Чили, Чили.


Villanueva Jose´ – D. Sci. (Phys. & Math.), proffesor of theoretical physics in the Instituto de F´ısica y Astronom´ıa in Universidad de Valpara´ıso, Chile.

Виллануэва Жозе – доктор физико-математических наук, профессор теоретической физики, Институт физики и астрономии в университете Вальпараисо, Чили.