Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024.Т. 47. №2. C. 9 — 20. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА 
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-47-2-9-20
Научная статья
Полный текст на английском языке
УДК 519.65

Содержание выпуска

Read English Version

Задача управления для уравнения теплопроводности с граничным условием Неймана

Ф. Н. Дехконов^{\ast}

Наманганский государственный университет, ул. Уйчи, 316, 160136, г. Наманган, Республика Узбекистан

Аннотация. Ранее были исследованы задачи граничного управления для уравнения теплопроводности с граничным условием Дирихле в ограниченной области. В данной работе рассматривается задача граничного управления для уравнения теплопроводности с граничными условиями Неймана в ограниченной одномерной области. На части границы рассматриваемой области задано значение решения с управляющим параметром. Ограничения на управление задаются таким образом, чтобы среднее значение решения в некоторой части рассматриваемой области получало заданное значение. Исследуемая начально-краевая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого типа с использованием метода разделения переменных. Известно, что не всегда можно доказать существование решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода. В нашей работе существование решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода показано с помощью метода преобразования Лапласа. Для этого были найдены необходимые оценки ядра интегрального уравнения. Наконец, допустимость функции управления доказана.

Ключевые слова: параболическое уравнение, интегральное уравнение, начально-краевая задача, допустимое управление, преобразование Лапласа.

Получение: 18.04.2024; Исправление: 17.05.2024; Принятие: 08.06.2024; Публикация онлайн: 25.08.2024

Для цитирования. Dekhkonov F. N. The control problem for a heat conduction equation with Neumann boundary condition // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 47. № 2. C. 9-20. EDN: MNMAFB. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2024-47-2-9-20.

Финансирование. Работа не выполнялась в рамках фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: f.n.dehqonov@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Dekhkonov F. N., 2024

© ИКИР ДВО РАН, 2024 (оригинал-макет, дизайн, составление)

References

1. Fattorini H. O. Time-optimal control of solutions of operational differential equations, SIAM J. Control, 1964. vol. 2, pp. 49–65.
2. Friedman A. Optimal control for parabolic equations, J. Math. Anal. Appl., 1967. vol. 18, pp. 479–491.
3. Egorov Yu. V. Optimal control in Banach spaces, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1963. vol. 150, pp. 241–244 (In Russian).
4. Albeverio S., Alimov Sh. A.On a time-optimal control problem associated with the heat exchange process, Applied Mathematics and Optimization, 2008. vol. 57, no. 1, pp. 58–68 DOI: 10.1007/s00245-007-9008-7.
5. Alimov Sh. A., Dekhkonov F. N.On the time-optimal control of the heat exchange process, Uzbek Mathematical Journal, 2019. no. 2, pp. 4–17.
6. Dekhkonov F. N.On the control problem associated with the heating process in the bounded domain,Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2022. vol. 39, no. 2, pp. 20–31 DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-20-31.
7. Fayazova Z. K. Boundary control of the heat transfer process in the space,Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2019. vol. 63, no. 12, pp. 71–79.
8. Dekhkonov F. N.On a time-optimal control of thermal processes in a boundary value problem, Lobachevskii journal of mathematics, 2022. vol. 43, no. 1, pp. 192–198 DOI:10.1134/S1995080222040096.
9. Dekhkonov F. N., Kuchkorov E. I.On the time-optimal control problem associated with the heating process of a thin rod,Lobachevskii. J. Math., 2023. vol. 44, no. 3, pp. 1134–1144.
10. Dekhkonov F. N.On the time-optimal control problem for a heat equation, Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2023. vol. 111, no. 3, pp. 28–38 DOI:10.31489/2023m3/28-38.
11. Dekhkonov F. N. Control problem concerned with the process of heating a thin plate, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki, 2023. vol. 42, no. 1, pp. 69–79 DOI: 10.26117/2079-6641-2023-42-1-69-79.
12. Chen N., Wang Y., Yang D. Time–varying bang–bang property of time optimal controls for heat equation and its applications, Syst. Control Lett, 2018. vol. 112, pp. 18–23.
13. Fattorini H. O. Time and norm optimal controls: a survey of recent results and open problems, Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed., 2011. vol. 31, pp. 2203–2218.
14. Fayazova Z. K. Boundary control for a Psevdo-Parabolic equation, Mathematical notes of NEFU, 2018. vol. 25, no. 2, pp. 40–45.
15. Lions J. L. Contróle optimal de systèmes gouvernés par deséquations aux dérivées partielles. Dunod Gauthier-Villars: Paris, 1968.
16. Fursikov A. V. Optimal Control of Distributed Systems. Providence, Rhode Island: Math. Soc., 2000.
17. Altmüller A, Grüne L. Distributed and boundary model predictive control for the heat equation, Technical report, University of Bayreuth, Department of Mathematics, 2012.
18. Dubljevic S., Christofides P.D . Predictive control of parabolic PDEs with boundary control actuation: Chemical Engineering Science, 2006.
19. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of Mathematical Physics. Moscow: Nauka, 1966 (In Russian).
20. Naimark M. A. Linear differential operators. Nauka: Moscow, 1962 (In Russian).
21. Yakubov V.Ya. Boundedness of normalized eigenfunctions for the Sturm–Liouville problem with minimal constraints on the smoothness of the coefficients, Differ. Equ., 1994. vol. 30, no. 8, pp.1361–1364.
22. Vladykina V. E. Spectral characteristics of the Sturm-Liouville operator under minimal restrictions on smoothness of coefficients, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., 2019. vol. 6, pp. 23–28 (In Russian).

---

Информация об авторе

---