Вестник КРАУНЦ.Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. №3. C. 123-132. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

INFORMATION AND COMPUTING TECHNOLOGIES

MSC 65D30, 65D32

Research Article

The extremal function of interpolation formulas in W2(2,0)  space

A. K. Boltaev¹, Kh. M. Shadimetov², F. A. Nuraliev²

¹V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, 4 University str., Olmazor, Tashkent, 100174, Uzbekistan
²Tashkent State Transport University, 1 Odilxojaev str., Tashkent 100167, Uzbekistan

E-mail: aziz−boltayev@mail.ru, kholmatshadimetov@mai.ru

One of the main problems of computational mathematics is the optimization of computational methods in functional spaces. Optimization of computational methods are well demonstrated in the problems of the theory of interpolation formulas. In this paper, we study the problem of constructing an optimal interpolation formula in a Hilbert space. Here, using the Sobolev method, the first part of the problem is solved, i.e., an explicit expression of the square of the norm of the error functional of the optimal interpolation formulas in the Hilbert space W2(2,0)  is found.

Keywords: optimal interpolation formulas, the error functional, the extremal function, Hilbert space.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-123-132

Original article submitted: 08.09.2021

Revision submitted: 15.10.2021

For citation. Boltaev A. K., Shadimetov Kh. M., Nuraliev F. A. The extremal function of interpolation formulas in W2(2,0)  space. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 36: 3, 123-132. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-123-132

Competing interests. The authors declare that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. All authors contributed to this article. Authors are solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by all authors.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Boltaev A. K., Shadimetov Kh. M., Nuraliev F. A., 2021

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 519.64

Научная статья

Экстремальная функция интерполяционных формул в пространстве W2(2,0) 

А. К. Болтаев¹, Х.М. Шадиметов², Ф. А. Нуралиев²

¹Институт математики им. В. И. Романовского АН РУз, ул. Университетская, 4, Олмазор, Ташкент, 100174, Узбекистан 2 ²Ташкентский государственный университет путей сообщения, ул. Одилходжаева, 1, Ташкент, 100167, Узбекистан

E-mail: aziz−boltayev@mail.ru, kholmatshadimetov@mai.ru

Одна из основных проблем вычислительной математики — оптимизация вычислительных методов в функциональных пространствах. Оптимизация вычислительных методов хорошо проявляется в задачах теории интерполяционных формул. В данной статье исследуется проблема построения оптимальной интерполяционной формулы в гильбертовом пространстве. Здесь с помощью метода Соболева решается первая часть задачи — явное выражение квадрата нормы функционала погрешности оптимальных интерполяционных формул в гильбертовом пространстве W2(2,0) .

Ключевые слова: оптимальные интерполяционные формулы, функционал погрешности, экстремальная функция, гильбертово пространство.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-123-132

Поступила в редакцию: 08.09.2021

В окончательном варианте: 15.10.2021

Для цитирования. Boltaev A. K., Shadimetov Kh. M., Nuraliev F. A. The extremal function of interpolation formulas in W2(2,0) space // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 36. № 3. C. 123-132. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-36-3-123-132

Конкурирующие интересы. Авторы заявляют, что конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Все авторы участвовали в написании статьи и полностью несут ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Болтаев А. К., Шадиметов Х. М., Нуралиев Ф. А., 2021

References

  1. Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The theory of splines and their applications, Mathematics in Science and Engineering. New York: Academic Press, 1967.
  2. Babaev S. S., Hayotov A. R. Optimal interpolation formulas in the space W2(m,m-1) // Calcolo, 2019. vol. 56, no. 23.
  3. Blaga P., Coman Gh. Some problems on optimal quadrature // Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 2007. vol. 52, no. 4, pp. 21–44.
  4. Cabada A. A., Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. Construction of Dm-splines in L2(m)(0,1) space by Sobolev method // Applied Mathematics and Computation, 2014. vol. 244, pp. 542–551.
  5. Catinaş T., Coman Gh. Optimal quadrature formulas based on the φ-function method // Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., 2006. vol. 51, no. 1, pp. 49–64.
  6. Coman Gh. Quadrature formulas of Sard type (Romanian) // Studia Univ. Babeş-Bolyai Ser. Math.-Mech., 1972. vol. 17, no. 2, pp. 73–77.
  7. Coman Gh. Monosplines and optimal quadrature formulae in Lp // Rend. Mat., 1972. vol. 6, no. 5, pp. 567–577.
  8. Mamatova N. Kh., Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. Construction of optimal grid interpolation formulas in sobolev space L2m(H) of periodic function of n variables by Sobolev method // Ufa Mathematical Journal, 2013. vol. 5, no. 1, pp. 90-101.
  9. Schoenberg I. J. On monosplines of least deviation and best quadrature formulae // J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. B Numer. Anal., 1965. vol. 2, pp. 144–170.
  10. Schoenberg I. J.On monosplines of least square deviation and best quadrature formulae II // SIAM J. Numer. Anal., 1966. vol. 3, no. 2, pp. 321–328.
  11. Schumaker L. L. Spline functions: basic theory: Cambridge university press, 2007. 600 pp.
  12. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R.Construction of interpolation splines minimizing semi-norm in W2(m,m-1)(0,1) space // Bit Numerical Mathematics, 2013. vol. 53, pp. 545-563.
  13. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R. Construction of lattice optimal interpolation formulas in the Sobolev space fLm 2 (H) of n-variable periodic functions // Uzbek Mathematical Journal, 2011. no. 1, pp. 186-193.
  14. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R. Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in W2(m,m-1)(0,1) space // Calcolo, 2014. vol. 51, pp. 211–243.
  15. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A. Construction of optimal interpolation formulas in the Sobolev space // Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, 2018. vol. 64, no. 4, pp. 723-735.
  16. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A.Optimal interpolation formulas with derivative in the space L2(m)(0,1) // Filomat, 2019. vol. 33, no. 17, pp. 5661-5675.
  17. Sobolev S. L. Interpolation of functions of n variables // Dokl. USSR Academy of Sciences, 1961. (in Russian).
  18. Sobolev S. L. Introduction to the Theory of Cubature Formulas: Moscow, 1974 (in Russian).
  19. Sobolev S. L. The coefficients of optimal quadrature formulas / Selected Works of S. L. Sobolev, Springer, 2006, pp. 561–566.
  20. Sobolev S. L., Vaskevich V. L. The Theory of Cubature Formulas. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1997.
  21. Vasilenko V. A. Spline functions: theory, algorithms, programs. Novosibirsk, 1983. 216 pp. (in Russian)
  22. Vladimirov V. S. Generalized Functions in Mathematical Physics. Moscow: Mir, 1983 (In Russian).

Boltaev Aziz Kuzievich – Ph.D. (Phys & Math), senior staff scientist at the laboratory of Computational Mathematics, V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, Tashkent, Uzbekistan.

Болтаев Азиз Кузиевич – доктор философии PhD по физико-математическим наукам, старший научный сотрудник лаборатории «Вычислительной математики», Институт Математики имени В.И. Романовского академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Узбекистан.


Shadiemtov Kholmat Makhkambaevich – D. Sci. (Phys. & Math.), professor, principal scientific researcher of Laboratory of Computational Mathematics, V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, Tashkent, Uzbekistan.

Шадиметов Холмат Махкамбаевич – доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории «Вычислительная математика» Института математики им. В.И. Романовского Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Республика Узбекистан.


Nuraliev Farhod Abduganievich – D. Sci. (Phys. & Math.), Senior scientific researcher of Laboratory of Computational Mathematics, V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, Tashkent, Uzbekistan.

Нуралиев Фарход Абдуганиевич – доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории «Вычислительная математика» Института математики им. В.И. Романовского Академии наук Узбекистана, г. Ташкент, Республика Узбекистан.