Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 51. №2. C. 28 — 44. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-51-2-28-44
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version

О разрешимости одной обратной задачи для уравнения четвертого порядка в прямоугольной области

А. Б. Бекиев^{\ast}

Каракалпакский государственный университет имени Бердаха, 230112, г. Нукус, ул. Ч. Абдирова, дом 1, Узбекистан

Аннотация. В данной работе для уравнения четвертого порядка в прямоугольной области рассмотрена обратная задача по поиску неизвестной правой части. Решение задачи построено в виде суммы ряда по собственным и ее присоединенным функциям соответствующей спектральной задачи. Собственные функции соответствующей спектральной задачи и ее присоединенные функции являются полной системой и образуют базис Рисса в пространстве L_2(0, 1). Единственность решения обратной задачи вытекает из полноты системы собственных и присоединенных функций. Установлены достаточные условия на заданные начальные функции, которые гарантируют теоремы существования и устойчивости решения задачи. В замкнутой области показана абсолютная и равномерная сходимость найденного решения обратной задачи в виде ряда, а также рядов, полученных почленным дифференцированием по t и x соответственно три и четыре раза. Доказана также, устойчивость решения обратной задачи по нормам пространств L2 (0, 1) , W^n_2(0,1) и C(Ω), относительно изменения входных данных.

Ключевые слова: уравнение четвертого порядка, обратная задача, метод разделения переменных, единственность, существование, устойчивость решения

Получение: 29.03.2025; Исправление: 23.06.2025; Принятие: 29.06.2025; Публикация онлайн: 17.09.2025

Для цитирования. Бекиев А. Б. О разрешимости одной обратной задачи для уравнения четвертого порядка в прямоугольной области // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 51. № 2. C. 28-44. EDN: TNKVGB. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-51-2-28-44.

Финансирование. Работа выполнялась без поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: ashir1976@mail.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Бекиев А. Б., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Смирнов М. М.Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка, 1972. 123 с.
  2. Амиров Ш., Кожанов А. И. Глобальная разрешимость начально-краевых задач для некоторых нелинейных аналогов уравнения Буссинеска // Матем. заметки, 2016. Т. 99, №2, С. 171–180. DOI: 10.4213/mzm10617.
  3. Huntul M. J., Abbas V. An inverse problem of fourth-order partial differential equation with nonlocal integral condition // Advances in Continuous and Discrete Models, 2022. no. 55 (2022), pp. 1–27 https://doi.org/10.1186/s13662-022-03727-3.
  4. Apakov Yu.P., Meliquzieva D. M.On a boundary problem for the fourth order equation with the third derivative with respect to time // Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2023. no. 4(112), pp. 30-40 https://doi.org/10.31489/2023m4/30-40.
  5. Аманов Д., Мурзамбетова М. Б. Краевая задача для уравнения четвертого порядка с младшим членом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2013. №1, С. 1-10.
  6. Бекиев А. Б., Шихиев Р. М.Разрешимость краевой задачи для смешанного уравнения четвертого порядка // Adyghe International Scientific Journal, 2022. Т. 22, №2, С. 11-20.
  7. Мегралиев Я.Т., Велиева Б. К. Обратная краевая задача для линеаризованного уравнения Бенни–Люка с нелокальными условиями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2019. Т. 29, №2.
  8. Юлдашев Т. К. Об одном смешанном дифференциальном уравнении четвертого порядка // Известия Института математики и информатики УдГУ, 2016. Т. 1(47), С. 119-128.
  9. Отарова Ж.А.Разрешимость и спектральные свойства самосопряженных задач для уравнения четвертого порядка // Узб. мат. ж., 2008. №2, С. 74-80.
  10. Assanova A. T. Imanchiyev A. E., Kadirbayeva Zh. M.A nonlocal problem for loaded partial differential equations of fourth order // Bulletin of the Karaganda University.Mathematics, 2020. Т. 97, №1, С. 6-16 https://doi.org/10.31489/2020m1/6-16.
  11. Berdyshev A. S., Cabada A., Kadirkulov B. J.The Samarskii-Ionkin type problem for the fourth order parabolic equation with fractional differential operator // Computers and Mathematics with Applications, 2011. Т. 62, С. 3884-3893.
  12. Уринов А. К., Усмонов Д.АНелокальная начально-граничная задача для вырождающиегося уравнения четвертого порядка с дробной производной Герасимова-Капуто // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2023. Т. 42, №1, С. 123-139 https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-123-139.
  13. Kilichov O. Sh., Ubaydullaev A. N.On one boundary value problem for the fourth-order equation in partial derivatives //Vestnik КRAUNC. Fiz.-Mat. nauki., 2022. Т. 39, №2, С. 32-41 DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-32-41.
  14. Джураев Т. Д., Сопуев А.К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка, 2000. 144 с.
  15. Сабитов К. Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний балки с учётом её вращательного движения при изгибе // Дифференциальные уравнения, 2021. Т. 57, №3, С. 364-374.
  16. Сабитов К. Б. Колебания пластины с граничными условиями «шарнир–заделка» // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 2022. Т. 26, №4, С. 650-671 DOI: 10.14498/vsgtu1950.
  17. Сабитов К. Б. Колебания консольной балки // Прикладная математика и Физика, 2021. Т. 53, №1, С. 5-12 DOI 10.52575/2687-0959-2021-53-1-5-12.
  18. Дмитриев В. Б. Краевая задача с нелокальным граничным условием для уравнения четвертого порядка // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2016, С. 32-50.
  19. Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа // Изв. вузов. Матем., 2011. №2, С. 71-85.
  20. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. M.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.
  21. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. 457 с.
  22. Кожанов А. И. Обратные задачи восстановления правой части специального вида в параболическом уравнении // Математические заметки СВФУ, 2016. Т. 23, №4, С. 31-45
  23. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2004. Т. 44, №4, С. 694-716.
  24. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.
  25. Камынин В.Л. Обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения // Матем. заметки, 2013. Т. 94, №2, С. 207-217. https://doi.org/10.4213/mzm9370.

Информация об авторе

Бекиев Аширмет Бекиевич – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедры «Дифференциальное уравнение» Каракалпакского государственного университета имени Бердаха, г. Нукус, Узбекистан, ORCID 0000-0001-8630-4360.

Читать статьюСкачать статью