Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. №3. C. 9-18. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА         

https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-9-18

Научная статья

Полный текст на русском языке

УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version 

Задача Коши для нагруженного линейного уравнения с частными производными первого порядка

А. Х. Аттаев^\ast

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А, Россия

Аннотация. Как хорошо известно, наличие характеристик является очень существенным при исследовании задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными независимо от его порядка. В случае, если дифференциальное уравнение с частными производными является нагруженным, то для однозначной разрешимости задачи Коши возникают дополнительные условия разрешимости, зависящие от вида следа нагрузки. Эти условия возникают даже для простейших линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными, начиная с первого порядка и выше. Основная цель данной работы — проиллюстрировать возникающие эффекты на примере исследования задачи Коши для линейного нагруженного уравнения в частных производных первого порядка. Так как корректность поставленной задачи Коши эквивалентным образом редуцируется к интегральному уравнению второго рода, то основной метод, применяемый для доказательства его разрешимости – метод последовательных подстановок. Основной вывод заключается в том, что разрешимость задачи Коши для нагруженного уравнения в частных производных существенным образом зависит от выбора следа нагрузки. В случае, когда разрешимость задачи Коши доказана, оказывается, что область влияния данных Коши не ограничивается только характеристиками, а появляются новые не характеристические линии, за которые данные Коши однозначно продолжаться не могут.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с частными производными, нагруженное дифференциальное уравнение, задача Коши, интегральное уравнение, метод последовательных подстановок, характеристики дифференциального уравнения, корректная задача.

Получение: 04.10.2023; Исправление: 12.10.2023; Принятие: 30.10.2023; Публикация онлайн: 02.11.2023

Для цитирования. Аттаев А. Х. Задача Коши для нагруженного линейного уравнения с частными производными первого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. № 3. C. 9-18. EDN: ZIXUUH. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-9-18.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность
за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^\astКорреспонденция: E-mail: attaev.anatoly@yandex.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Аттаев А. Х., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations, Ann. Math., 1952. vol. 55, pp. 468–519.
  2. Phillips R. S. Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations, Trans. Amer. Math. Soc., 1959. vol. 90, no. 2, pp. 193–254.
  3. Krall A. M. The development of general differential and general differential boundary systems, Rocky Mountain J. Math., 1975. vol. 5, no. 4, pp. 493–542.
  4. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка, Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 1, С. 103–108.
  5. Бородин А.В. Об одной оценке для уравнений в частных производных второго порядка и ее приложении, Дифференц. уравнения, 1978. Т. 14, № 1, С. 12–21.
  6. Бородин А.В. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. I, Дифференц. уравнения, 1979. Т. 15, № 1, С. 18–25.
  7. Бородин А.В. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. II, Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, № 1, С. 20–33.
  8. Борок В.М., Житомирский Я.И. Задача Коши для одного класса нагруженных уравнений, Успехи математических наук, 1979. Т. 34, № 1(205), С. 221–222.
  9. Борок В.М., Житомирский Я.И. Задача Коши для линейных нагруженных дифференциальных уравнений, I. Единственность, Известия вузов, 1981. № 9, С. 5–12.
  10. Борок В.М., Житомирский Я.И. Задача Коши для линейных нагруженных дифференциальных уравнений, II. Корректность, Известия вузов, 1981. № 10, С. 3–9.
  11. Казиев В.М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка, Дифференц. уравнения, 1978. Т. 14, № 1, С. 181–184.
  12. Казиев В.М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева–Бицадзе, Дифференц. уравнения, 1979. Т. 15, № 1, С. 173–175.
  13. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа, Дифференц. уравнения, 1977. Т. 13, № 1, С. 163–167.
  14. Ланин И.Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка, Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 1, С. 97–106.
  15. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
  16. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения математической экономики, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2010. Т. 12, № 1, С. 91–97.
  17. Казиев В.М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения, Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 2, С. 313–319.
  18. Огородников Е. Н. Некоторые характеристические задачи для систем нагруженных дифференциальных уравнений и их связь с нелокальными краевыми задачами, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2003. № 19, С. 22–28.
  19. Аттаев А. Х. Задача Гурса для локально-нагруженного уравнений со степенным параболическим вырождением, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2008. Т. 10, № 2, С. 14–16.
  20. Аттаев А. Х. Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка с оператором Геллерстедта в главной части, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 1, С. 7–21.
  21. Аттаев А. Х. Задача с данными на параллельных характеристиках для нагруженного волнового уравнения, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2013. Т. 15, № 2, С. 25–28.
  22. Аттаев А. Х. Задача Гурса для нагруженного гиперболического уравнения, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2014. Т. 16, № 3, С. 9–12.

Информация об авторе

Аттаев Анатолий Хусеевич – кандидат физико-математических наук, заведующий отделом «Уравнения смешанного типа», Институт прикладной математики и автоматизации, Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, Россия, ORCID 0000-0001-5864-6283.

Читать статьюСкачать статью