Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 42. №1. C. 164-179. ISSN 2079-6641
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-164-179
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.938
Дробная математическая модель Макшерри
Х.Т. Алимов^1, Ф. Х. Дзамихова^2, Р. И. Паровик^{*,1,3}
¹Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Узбекистан, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 4,
²Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук, Россия, 360002, г. Нальчик, ул. Балкарова, 2.
³Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, Россия, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4.
Аннотация. В статье предложено обобщение математической модели Макшерри для моделирования искусственной электрокардиограммы — изменяющегося во времени сигнала, отражающий ионный ток, который заставляет сердечные волокна сокращаться, а затем расслабляться. Обобщение математической модели Макшерри заключается в учете свойства наследственности (памяти) динамического процесса, которое можно описать с помощью дробных производных в смысле Герасимова-Капуто. Эффект памяти динамической системы определяет возможность зависимости ее состояний от предыстории и может указывает на диссипативный характер, рассматриваемого процесса. Далее в работе с помощью теории конечно-разностных схем строится явная конечно-разностная схема первого порядка точности для нахождения численного решения предложенной модели. С помощью алгоритма проводится визуализация результатов моделирования: строятся осциллограммы и фазовые траектории при различных значениях параметров модели для здорового человека. Проводится интерпретация результатов моделирования. Показано, что порядки дробных производных влияют на динамические режимы, рассматриваемой дробной динамической системы. В случае соизмеримой дробной динамической системы предельный цикл начинает разрушаться при значениях порядков дробных производных меньше 0,5. В этом случае роль диссипации имеет значительную роль. В случае несоизмеримой дробной динамической системы могут возникать различные режимы от предельных циклов до затухающих, возможны и хаотические режимы. В работе было показано, что при достаточно больших значениях угловой скорости возникает хаотический режим. Исследование хаотических режимов заслуживает отдельного внимания и будет
рассмотрено с следующих статьях. Также порядки дробных производных можно рассматривать как
дополнительные степени для параметризации сигналов ЭКГ.
Ключевые слова: математическая модель, ЭКГ, численный анализ, производная типа Герасимова-Капуто, осциллограммы, фазовые траектории.
Получение: 13.03.2023; Исправление: 20.03.2023; Принятие: 21.03.2023; Публикация онлайн: 16.04.2023
Для цитирования. Алимов Х.Т., Дзамихова Ф. Х., Паровик Р.И. Дробная математическая модель Макшерри // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. № 1. C. 164-179. EDN: BSUNVQ. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-164-179.
Финансирование. Финансовая поддержка выполнена в рамках гранта президента РФ «Развитие математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с насыщением № МД-758.2022.1.1
Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.
Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.
^*Корреспонденция: E-mail: romanparovik@gmail.com
Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License
© Алимов Х.Т., Дзамихова Ф. Х., Паровик Р. И., 2023
© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)
Список литературы
- Davey P.A new physiological method for heart rate correction of the QT interval, Heart, 1999. vol. 82, no. 2, pp. 183-186.
- Schwartz P. J., Wolf S.QT interval prolongation as predictor of sudden death in patients with myocardial infarction, Circulation, 1978. vol. 57, no. 6, pp. 1074-1077.
- McSharry P. E., Clifford G. D., Tarassenko L., Smith L. A.A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals, IEEE transactions on biomedical engineering., 2003. vol. 50, no. 3, pp. 289-294.
- Марценюк В. П., Сарабун Р. О. Исследование нелинейной динамики в модели МакШерри на основе экспонент Ляпунова, Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии, 2014. №2, С. 57-61.
- Oldham K., Spanier J. The Fractional Calculus. Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. London: Academic Press, 1974. 240 pp.
- Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differntial Equations. New York: A Wiley-Interscience Publication, 1993. 384 pp.
- Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с.
- Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204: Amsterdam, 2006. 523 pp.
- Pskhu A. V., Rekhviashvili S. S. Analysis of forced oscillations of a fractional oscillator, Technical Physics Letters, 2018. vol. 44, pp. 1218-1221.
- Parovik R. I. Quality factor of forced oscillations of a linear fractional oscillator, Technical Physics, 2020. vol. 65, no. 7, pp. 1015-1019.
- Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. New York: Dover Publications, 2005. 288 pp.
- Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 510 с.
- Parovik R.I. Fractal parametric oscillator as a model of a nonlinear oscillation system in natural mediums, Int. J. Communications, Network and System Sciences, 2013. vol. 6, no. 3, pp. 134-138.
- Parovik R.I.On a finite-difference scheme for an hereditary oscillatory equation, Journal of Mathematical Sciences, 2021. vol. 253, no. 4, pp. 547-557.
- Parovik R.I. Mathematical models of oscillators with memory / Oscillators-Recent Developments. London, 2019, pp. 3-21.
- Tavazoei M. S. Haeri, M. Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2008. vol. 237, pp. 2628–2637.
- Ortigueira M. D., Valerio D., Machado J. T.Variable order fractional systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. vol. 71, pp. 231–243.
- Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation,Fractal and Fractional, 2022. vol. 6(1), no. 23, pp. 1–27.
Алимов Хайриддин Тухтамуродович – магистрант Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека, г. Ташкент, Узбекистан https://orcid.org/0009-0005-0816-918X.
Дзамихова Фатимат Хасеновна – аспирант Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, г. Нальчик, Россия https://orcid.org/0000-0002-5977-4479.
Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, заведующий международной интегративной лаборатории экстремальных явлений Камчатки, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия, https://orcid.org/0000-0002-1576-1860.