Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 42. №1. C. 164-179. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-164-179
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.938

Содержание выпуска

Read English Version 

Дробная математическая модель Макшерри

Х.Т. Алимов^1, Ф. Х. Дзамихова^2, Р. И. Паровик^{*,1,3}

¹Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Узбекистан, 100174, г. Ташкент, ул. Университетская, 4,
²Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук, Россия, 360002, г. Нальчик, ул. Балкарова, 2.
³Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, Россия, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4.

Аннотация. В статье предложено обобщение математической модели Макшерри для моделирования искусственной электрокардиограммы — изменяющегося во времени сигнала, отражающий ионный ток, который заставляет сердечные волокна сокращаться, а затем расслабляться. Обобщение математической модели Макшерри заключается в учете свойства наследственности (памяти) динамического процесса, которое можно описать с помощью дробных производных в смысле Герасимова-Капуто. Эффект памяти динамической системы определяет возможность зависимости ее состояний от предыстории и может указывает на диссипативный характер, рассматриваемого процесса. Далее в работе с помощью теории конечно-разностных схем строится явная конечно-разностная схема первого порядка точности для нахождения численного решения предложенной модели. С помощью алгоритма проводится визуализация результатов моделирования: строятся осциллограммы и фазовые траектории при различных значениях параметров модели для здорового человека. Проводится интерпретация результатов моделирования. Показано, что порядки дробных производных влияют на динамические режимы, рассматриваемой дробной динамической системы. В случае соизмеримой дробной динамической системы предельный цикл начинает разрушаться при значениях порядков дробных производных меньше 0,5. В этом случае роль диссипации имеет значительную роль. В случае несоизмеримой дробной динамической системы могут возникать различные режимы от предельных циклов до затухающих, возможны и хаотические режимы. В работе было показано, что при достаточно больших значениях угловой скорости возникает хаотический режим. Исследование хаотических режимов заслуживает отдельного внимания и будет
рассмотрено с следующих статьях. Также порядки дробных производных можно рассматривать как
дополнительные степени для параметризации сигналов ЭКГ.

Ключевые слова: математическая модель, ЭКГ, численный анализ, производная типа Герасимова-Капуто, осциллограммы, фазовые траектории.

Получение: 13.03.2023; Исправление: 20.03.2023; Принятие: 21.03.2023; Публикация онлайн: 16.04.2023

Для цитирования. Алимов Х.Т., Дзамихова Ф. Х., Паровик Р.И. Дробная математическая модель Макшерри // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. № 1. C. 164-179. EDN: BSUNVQ. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-164-179.

Финансирование. Финансовая поддержка выполнена в рамках гранта президента РФ «Развитие математических моделей дробной динамики с целью исследования колебательных процессов и процессов с насыщением № МД-758.2022.1.1

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^*Корреспонденция: E-mail: romanparovik@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Алимов Х.Т., Дзамихова Ф. Х., Паровик Р. И., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Davey P.A new physiological method for heart rate correction of the QT interval, Heart, 1999. vol. 82, no. 2, pp. 183-186.
  2. Schwartz P. J., Wolf S.QT interval prolongation as predictor of sudden death in patients with myocardial infarction, Circulation, 1978. vol. 57, no. 6, pp. 1074-1077.
  3. McSharry P. E., Clifford G. D., Tarassenko L., Smith L. A.A dynamical model for generating synthetic electrocardiogram signals, IEEE transactions on biomedical engineering., 2003. vol. 50, no. 3, pp. 289-294.
  4. Марценюк В. П., Сарабун Р. О. Исследование нелинейной динамики в модели МакШерри на основе экспонент Ляпунова, Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии, 2014. №2, С. 57-61.
  5. Oldham K., Spanier J. The Fractional Calculus. Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. London: Academic Press, 1974. 240 pp.
  6. Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differntial Equations. New York: A Wiley-Interscience Publication, 1993. 384 pp.
  7. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с.
  8. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204: Amsterdam, 2006. 523 pp.
  9. Pskhu A. V., Rekhviashvili S. S. Analysis of forced oscillations of a fractional oscillator, Technical Physics Letters, 2018. vol. 44, pp. 1218-1221.
  10. Parovik R. I. Quality factor of forced oscillations of a linear fractional oscillator, Technical Physics, 2020. vol. 65, no. 7, pp. 1015-1019.
  11. Volterra V. Functional theory, integral and integro-differential equations. New York: Dover Publications, 2005. 288 pp.
  12. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 510 с.
  13. Parovik R.I. Fractal parametric oscillator as a model of a nonlinear oscillation system in natural mediums, Int. J. Communications, Network and System Sciences, 2013. vol. 6, no. 3, pp. 134-138.
  14. Parovik R.I.On a finite-difference scheme for an hereditary oscillatory equation, Journal of Mathematical Sciences, 2021. vol. 253, no. 4, pp. 547-557.
  15. Parovik R.I. Mathematical models of oscillators with memory / Oscillators-Recent Developments. London, 2019, pp. 3-21.
  16. Tavazoei M. S. Haeri, M. Chaotic attractors in incommensurate fractional order systems, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2008. vol. 237, pp. 2628–2637.
  17. Ortigueira M. D., Valerio D., Machado J. T.Variable order fractional systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. vol. 71, pp. 231–243.
  18. Tverdyi D. A., Parovik R. I. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation,Fractal and Fractional, 2022. vol. 6(1), no. 23, pp. 1–27.

Алимов Хайриддин Тухтамуродович – магистрант Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека, г. Ташкент, Узбекистан https://orcid.org/0009-0005-0816-918X.

Дзамихова Фатимат Хасеновна – аспирант Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, г. Нальчик, Россия https://orcid.org/0000-0002-5977-4479.

Паровик Роман Иванович – доктор физико-математических наук, доцент, заведующий международной интегративной лаборатории экстремальных явлений Камчатки, Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, Россия, https://orcid.org/0000-0002-1576-1860.

Читать статьюСкачать статью