Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025.Т. 52. №3. C. 7 — 23. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-7-23
Научная статья
Полный текст на английском языке

УДК 517

Содержание выпуска

Read English Version

Обобщенная естественная плотность \operatorname{DF}(\mathfrak{F}_k) слова Фибоначчи

Д. Абдулла, Ж. Хамуд^{\ast}

Московский физико-технический институт, 141700, Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Россия

Аннотация. В данной статье рассматриваются глубокие обобщения последовательности Фибоначчи, включая случайные последовательности Фибоначчи, k-слова Фибоначчи и их комбинаторные свойства. Мы установили, что корень n-й степени из абсолютного значения членов случайной последовательности Фибоначчи сходится к 1.13198824 . . ., с последующими уточнениями Ритто, дающими предел приблизительно 1.20556943 для корня n-й степени ожидаемого значения. Новые определения, такие как естественная плотность множеств положительных целых чисел и предельная плотность последовательностей Фибоначчи по модулю степеней простых чисел, обеспечивают надежную основу для нашего анализа. Мы вводим концепцию k-слов Фибоначчи, расширяя классические слова Фибоначчи до более высоких измерений, и исследуем их закономерности наряду с последовательностями, такими как слова Туэ-Морса и Штурма. Наши основные результаты включают теорему об уникальном представлении действительных чисел с помощью чисел Фибоначчи, тождество симметрии для сумм, содержащих слова Фибоначчи, \sum_{k=1}^{b} \dfrac{(-1)^k F_a}{F_k F_{k+a}}= \sum_{k=1}^{a} \dfrac{(-1)^k F_b}{F_k F_{k+b}}, и тождество бесконечного ряда, связывающее члены Фибоначчи с золотым сечением. Эти результаты подчёркивают сложную взаимосвязь теории чисел и комбинаторики, проливая свет на богатую структуру последовательностей, связанных с числами Фибоначчи.

Ключевые слова: плотность, Фибоначчи, слово, натуральный, последовательность, сбалансированный

Получение: 30.09.2025; Исправление: 09.10.2025; Принятие: 11.10.2025; Публикация онлайн: 10.11.2025

Для цитирования. Abdullah D., Hamoud J. Generalized natural density \operatorname{DF}(\mathfrak{F}_k) of Fibonacci word // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2025. Т. 52. № 3. C. 7-23. EDN: KCDDRW. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2025-52-3-7-23.

Финансирование. Исследование было проведено без поддержки фондов

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^{\ast}Корреспонденция: E-mail: hamoud.math@gmail.com

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Abdullah D., Hamoud J., 2025

© ИКИР ДВО РАН, 2025 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Allouche J.P. Sur la complexité des suites infinies, Bull. Belg. Math. Soc., 1994. vol. 1, pp. 133–143.
2. Lothaire M. Combinatorics on words. Cambridge Mathematical Library, 2003.
3. Kowalski E. Introduction to Probabilistic Number Theory.. Cambridge, UK: Cambridge Studies in Adv. Math., 2021.
4. Hassin R., Sarid A. Operations research applications of dichotomous search, European Journal of Operational Research, 2018. vol. 265, no. 3, pp. 795-–812 DOI:10.1016/j.ejor.2017.07.031.
5. Ghiyasi A. Kh., Mikhailov I.P., Chubarikov V. N. On an expansion numbers on Fibonacci’s sequences, Chebyshevskii Sb., 2023. vol. 24, no. 2, pp. 248-–255.
6. Viswanath D. Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824…, Mathematics of Computation, 2000. vol. 69, no. 231, pp. 1131–1155.
7. Gelfond A. O. Sur les nombres qui ont des propri´et´es additives et multiplicatives donn´ees, Acta Arithmetica. vol. 13, pp. 259–265 DOI: 10.4064/aa-13-3-259-265 (In Germany).
8. Hardy G. H, Littlewood J. E. The fractional part of n^k\theta, Acta math., 1914. vol. 37.
9. Zeckendorf E. Repr´ sentation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de
   nombres de Lucas, Bull. Soc. R. Sci. vol. 41, pp. 179–182 (In French).
10. Rigo M., Stipulanti M. Whiteland M. A. Gapped Binomial Complexities in Sequences, IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), pp. 1294–1299 DOI:10.1109/ISIT54713.2023.10206676.
11. Hamoud J, Abdullah D. Albertson index and Sigma index in trees given by degree sequences,
    Chebyshevskii Sb., 2025. vol. 26, no. 3.
12. Hamoud J., Abdullah D. Improvement Ergodic Theory For The Infinite Word \mathfrak{F}=\mathfrak{F}_{b}:=\left({ }_{b} f_{n}\right)_{n \geqslant 0} on Fibonacci Density, arXiv, 2025 DOI:10.48550/arXiv.2504.05901.
13. Hamoud J.., Abdullah D. Density Characterization with The Upper Bound of Density of Fibonacci Word, arXiv, 2025 DOI:10.48550/arXiv.2509.00886.
14. Makover E., McGowan J. An elementary proof that random Fibonacci sequences grow exponentially,
    Journal of Number theory, 2006. vol. 121, no. 1, pp. 40–44.
15. Rigo M. Formal Languages, Automata and Numeration Systems 1: Introduction to Combinatorics on
    Words.
16. Glen A., Wolff A., Clarke R. On Sturmian and Episturmian Words, and Related Topics, School of
    mathematical sciences discipline of pure mathematics, 2006.
17. Rittaud B. On the average growth of random Fibonacci sequences, J. Int. Seq.. vol. 10, no. 4.
18. Ramírez J. L., Rubiano G. N. On the k-Fibonacci words, Acta Universitatis Sapientiae, Informatica.
    vol. 5, pp. 212–226 DOI:10.2478/ausi-2014-0011.
19. Trojovský P. On the Natural Density of Sets Related to Generalized Fibonacci Numbers of Order,
    Axioms, 2021. vol. 10, no. 144 DOI: 10.3390/axioms10030144.
20. Tenenbaum G. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge, UK:
    Cambridge Studies in Adv. Math., 1995.
21. Bravo J. J. Luca F. Powers of Two in Generalized Fibonacci Sequences, Rev. Colomb. Mat., 2012.
    vol. 46. pp. 67-79.

---

Информация об авторах

---

---