Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 42. №1. C. 123-139. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-123-139
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.95

Содержание выпуска

Read English Version 

Нелокальная начально-граничная задача для вырождающиегося уравнения четвертого порядка с дробной производной Герасимова-Капуто

А. К. Уринов^*, Д. А. Усмонов^*

Ферганский государственный университет, Узбекистан, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19

Аннотация. В последнее время интенсивно изучаются начально – граничные задачи в прямоугольной области для дифференциальных уравнений в частных производных как четного, так и нечетного порядка. При этом в качестве объекта исследования, в основном, берется не вырождающееся уравнение или уравнение, вырождающееся на одной стороне четырехугольника. Начально – граничные задачи (как локальные, так и нелокальные) для уравнений с двумя или тремя линиями вырождения остаются неизученными. В данной работе в прямоугольной области рассмотрено уравнение четвёртого порядка, вырождающееся на трех сторонах четырехугольника и содержащее оператор дробного дифференцирования Герасимова –Капуто. Для этого уравнения сформулирована и исследована одна начально – граничная задача с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции и её производных до третьего порядка (включительно), принимаемых на боковых сторонах прямоугольника. Сначала методом интегралов энергии доказана единственность решения поставленной задачи. Затем, исследована спектральная задача, возникающая при применении метода Фурье, основанном на разделении переменных, к поставленной начально – граничной задаче. Построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, откуда следует существование счетного числа собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема разложения заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. С помощью найденного интегрального уравнения и теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Исследована равномерная сходимость этого ряда и рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Ключевые слова: вырождающееся уравнение четвертого порядка, начально-краевая задача, метод разделения переменных, спектральная задача, функция Грина, интегральное уравнение, существование, единственность и устойчивость решения.

Получение: 07.11.2022; Исправление: 20.02.2023; Принятие: 24.03.2023; Публикация онлайн: 16.04.2023

Для цитирования. Уринов А. К., Усмонов Д. А. Задача для параболического уравнения с двумя свободными границами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. № 1. C. 123-139. EDN: INZPHJ. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-123-139.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^*Корреспонденция: E-mail: urinovak@mail.ru; usmonov-doniyor@inbox.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Уринов А. К., Усмонов Д. А., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

  1. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка, Изв. АН Арм ССР, 1968. Т. 3, №1, С. 3-29.
  2. Джрбашян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма — Лиувилля, Изв. АН АрмССР. Mat, 1970. Т. 5, №2, С. 71-96.
  3. Нахушев А. М. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах, Докл. АН СССР, 1977. Т. 234, №2, С. 308-311.
  4. Алероев Т. С. К проблеме о нулях функции Миттага-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка,Дифференц.уравнения, 2000. Т. 36, №9, С. 1278–1279.
  5. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  6. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  7. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  8. Berdyshev A. S., Cabada A., Kadirkulov B. J. The Samarskii–Ionkin type problem for the fourth order parabolic equation with fractional differential operator, Computers and Mathematics with Applications, 2011. vol. 62, pp. 3884-3893.
  9. Berdyshev A. S, Kadirkulov B. J.A Samarskii-Ionkin problem for two-dimensionalparabolic equation with the Caputo fractional differential operator, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 2017. vol. 113, no. 4, pp. 53-64.
  10. Kerbal S., Kadirkulov B. J., Kirane M. Direct and inverse problems for a Samarskii-Ionkin type problem for a two dimensional fractional parabolic equation, Progr. Fract. Differ. Appl, 2018. vol. 3, pp. 147-160.
  11. Aziz S., Malik S. A. Identifcation of an unknown source term for a time fractional fourth-order parabolic equation, Electron. J. Differ. Equat., 2016. vol. 293, pp. 1–20.
  12. Бердышев А. С., Кадиркулов Б.Ж.Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения четвертого порядка с дробным оператором Джрбашяна–Нерсесяна,Дифференциальные уравнения, 2016. Т. 52, №1, С. 123–127.
  13. Карашева Л. Л. Задача в полуполосе для параболического уравнения четвертого порядка с оператором Римана – Лиувилля по временной переменной, Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН, 2019. Т. 5, №91, С. 21-29.
  14. Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J. Nonlocal problem for a mixed typefourth-order differential equation with Hilfer fractional operator, Ural mathematical journal, 2020. vol. 6, no. 1, pp. 153–167.
  15. Yuldashev T. K., Kadirkulov B.J. Inverse boundary value problem for a fractional differential equations of mixed type with integral rede?nition conditions,Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021. vol. 42, no. 3, pp. 649–662.
  16. Ashurov R., Umarov S. Determination of the order of fractional derivative for subdiffusion equations,Fract. Calc. Appl. Anal, 2020. vol. 23, no. 6, pp. 1647–1662.
  17. Ashurov R., Fayziev YInverse Problem for Finding the Order of the Fractional Derivative in the Wave Equation, Mathematical Notes, 2021. vol. 110, no. 6, pp. 842–852.
  18. Каримов Д. Х., Касимова М. Смешанная задача для линейного уравнения четвертого порядка, вырождающегося на границе области, Изв. АН УзССР, сер. физ. -мат. наук, 1968. Т. 2, С. 27-31.
  19. Байкузиев К. Б., Касимова М. Смешанная задача для уравнения четвертого порядка, вырождающегося на границе области, Изв. АН УзССР, сер. физ. -мат. наук, 1968. Т. 5, С. 7-12.
  20. Касимова МСмешанная задача для линейного уравнения четверого порядка, вырождающегося на границе области, Изв. АН УзССР, сер. физ. -мат. наук, 1968. Т. 5, С. 35-39.
  21. Бейтмен Г., Эрдейи А Высшие трансцендентные функции, Т. 1. М.: Наука, 1965. 296 с.
  22. Наймарк М.А Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
  23. Михлин С. Г Лекции по линейным интегральным уравнениям. Москва: Физматлит, 1959. 232 с.
  24. Boudabsa L., Simon TSome Properties of the Kilbas-Saigo Function, Mathematics, 2021. vol. 9, no. 217.

Информация об авторах


Уринов Ахмаджон Кушакович – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений, Ферганский государственный университет, г. Фергана, Узбекистан,
https://orcid.org/0000-0002-9586-1799.

Усмонов Дониёр Абдумутолиб угли – исследователь, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, Ферганский государственный университет, г. Фергана, Узбекистан, https://orcid.org/0000-0002-3574-075X.

Читать статьюСкачать статью