Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023.Т. 42. №1. C. 98-107. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА
https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-98-107
Научная статья
Полный текст на русском языке
УДК 517.91

Содержание выпуска

Read English Version 

Задача Коши для уравнения с дробной производной Джрбашяна – Нерсесяна с запаздывающим аргументом

М. Г. Мажгихова^*

Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино – Балкарский научный центр РАН», 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А

Аннотация. Последние десятилетия количество работ, посвященных исследованию задач для дифференциальных уравнений дробного порядка, заметно растет. Интерес исследователей вызван тем, что количество областей науки, в которых используются уравнения, содержащие дробные производные, варьируется от биологии и медицины до теории управления, инженерии, финансов, а также оптики, физики и так далее. Включение запаздывания в уравнение дробного порядка существенно влияет на ход процесса, описываемого этим уравнением, так как неизвестная функция задается при различных значениях аргумента, что вносит эффект предыстории в уравнение. Поэтому, математические модели, содержащие дробный оператор и запаздывающий аргумент, более точны, чем модели, содержащие производные целого порядка. В данной работе исследуется задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом c оператором дробного дифференцирования Джрбашяна – Нерсесяна, обобщающим известные дробные операторы Римана – Лиувилля и Герасимова – Капуто. Результаты работы получены с использованием методов теории целого и дробного исчислений, методов теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, метода специальных функций. В работе доказывается теорема о справедливости аналога формулы Лагранжа. Также доказано, что специальная функция W_{\gamma_m}\left(t\right), которая, в свою очередь, определяется через обобщенную функцию Миттаг – Леффлера (или функция Прабхакара), удовлетворяет уравнению и условиям, сопряженным исследуемому, и является фундаментальным решением рассматриваемого уравнения. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения начальной задачи. Решение поставленной задачи выписано в терминах специальной функции W_\nu\left(t\right).

Ключевые слова: Производная Джрбашяна – Нерсесяна, уравнение дробного порядка, уравнение с запаздывающим аргументом, формула Лагранжа, фундаментальное решение, обобщенная функция Миттаг – Леффлера.

Получение: 20.12.2022; Исправление: 21.03.2023; Принятие: 24.03.2023; Публикация онлайн: 16.04.2023

Для цитирования. Мажгихова М. Г. Задача Коши для уравнения с дробной производной Джрбашяна –Нерсесяна с запаздывающим аргументом // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 42. № 1. C. 98-107. EDN: DMUMKE. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-42-1-98-107.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов.

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Авторы участвовали в написании статьи и полностью несут
ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

^*Корреспонденция: E-mail: mazhgihova.madina@yandex.ru

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License

© Мажгихова М. Г., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Список литературы

1. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б.Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка, Изв. Акад. Наук Арм. ССР., 1968. Т. 36, №1, С. 3–29.
2. Pskhu A. V. The fundamental solution of a diffusion-wave equation of fractional order, Izv. Math., 2009. vol. 73, no. 2, pp. 351–392.
3. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с.
4. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Factional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
5. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва: Наука, 2005. 199 с.
6. Oldham K. B., Spanier J. The fractional calculus. N.-Y. L.: Acad. press., 1974. 234 pp.
7. Barrett J. H. Differential equation of non-integer order, Canad. J. Math., 1954. vol. 6, no. 4, pp. 529–541.
8. Pskhu A. V. Initial-value problem for a linear ordinary differential equation of noninteger order, Sb. Math., 2011. vol. 202, no. 4, pp. 571–582.
9. Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Izhberdeeva E. M. Initial value problems of linear equations with the Dzhrbashyan – Nersesyan derivative in Banach spaces, Symmetry., 2021. vol. 13, no. 6, pp. 1058.
10. Волкова А. Р., Ижбердеева Е. М., Федоров В. Е. Начальные задачи для уравнений с композицией дробных производных, Челяб. физ.-матем. журн., 2021. Т. 6, №3, С. 269–277.
11. Богатырева Ф. Т. Начальная задача для уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами, Вест. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки., 2016. Т. 16, №4–1, С. 21–26.
12. Bellman R. E., Cooke K. L. Differential-Difference Equations. New York. London.: Acad. Press., 1963. 462 pp.
13.  Hale J. K, Lunel S. M. V. Introduction to Functional Differential Equations. New York. London.: Springer, 1993. 449 pp.
14. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Москва: Наука, 1971. 296 с.
15. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Москва: Наука, 1972. 351 с.
16. Норкин С. Б.О решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом,УМН, 1959. Т. 14. 1, №85, С. 199–206.
17. Мажгихова М. Г. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором Римана-Лиувилля с запаздывающим аргументом, Известия КБНЦ РАН, 2017. Т. 75, №1, С. 24–28.
    18. Мажгихова М. Г. Начальная и краевая задачи для обыкновенного дифференциального
    уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом, Челябинский Физико-
    Математический Журнал, 1968. Т. 3, №1, С. 27–37.
18. Mazhgikhova M. G. Dirichlet problem for a fractional-order ordinary differential equation with retarded argument, Differential equations, 2018. Т. 54, №2, С. 187–194.
19. Prabhakar T. R.A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel, Yokohama Math. J., 1971. vol. 19, pp. 7–15.
20. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. Москва: Наука, 1969. 528 с.

---

Информация об авторе

---