Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022.Т. 40. №3. C. 53-63. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска

Read English Version US Flag

УДК 517.95

Научная статья

Решение краевой задачи для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной

О. Х. Масаева

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89a, Россия
E-mail: olesya.masaeva@yandex.ru

В работе исследована краевая задача Дирихле в верхней полуплоскости для уравнения в частных производных второго порядка, содержащего композицию операторов дробного дифференцирования Римана-Лиувилля по одной из двух независимых переменных. Рассматриваемое уравнение при целом значении порядка дробного дифференцирования переходит в уравнение Лапласа от двух независимых переменных. Получено представление решения исследуемой задачи в явном виде (в терминах функции типа Миттаг-Леффлера) методом интегрального преобразования Фурье. Найдены асимптотические оценки частного решения и его производных. Доказаны теоремы о существовании и единственности регулярного решения. Существование решения доказано в классе непрерывных функций с весом в замкнутой полуплоскости. Единственность решения доказана в классе непрерывно дифференцируемых функций по пространственной переменной и имеющих соответствующую непрерывную дробную производную с весом по временной переменной в замкнутой полуплоскости.

Ключевые слова: дробная производная, функция типа Миттаг-Леффлера, обобщенное уравнение Лапласа с дробной производной, задача Дирихле.

DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-53-63

Поступила в редакцию: 10.10.2022

В окончательном варианте: 03.11.2022

Для цитирования. Масаева О. Х. Решение краевой задачи для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 40. № 3. C. 53-63. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-53-63

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Масаева О. Х., 2022

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Благодарность. Также авторы могут выразить благодарности своим коллегам за обсуждение и подготовку статьи к печати, а также рецензентам за ценные замечания.

Финансирование. Работа выполнена в рамках гос. задания Минобрнауки РФ «Нелинейные сингулярные интегро-дифференциальные уравнения и краевые задачи» (проект FEGS-2020-0001)

Список литературы

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  2. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  3. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 688 с.
  5. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. М. Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2011. 568 с.
  6. Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2013. 200 с.
  7. Масаева О. Х. Единственность решения задачи Дирихле для многомерного дифференциального
    уравнения дробного порядка,Матем. заметки, 2021. Т. 109, №1, С. 101–106.
  8. Масаева О. Х. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной, Челябинский физ.-мат. журнал, 2017. Т. 2, №3, С. 312–322.
  9. Масаева О. Х. Задача Неймана для обобщенного уравнения Лапласа, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат.науки, 2018. Т. 23, №1, С. 83–90.
  10. Масаева О. Х. Единственность решения задачи Дирихле для уравнения с фрактальным оператором Лапласа в главной части, Известия КБНЦ РАН, 2015. Т. (68)-2, №6, С. 127–130.
  11. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.
  12. Нахушев А. М.О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа, Дифференц. уравнения, 1998. Т. 34, №1, С. 101–109.
  13. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and applications of fractional differential equations, Т. 204. Amsterdam: North-Holland Math. Stud., 2006. 523 с.
  14. Mainardi F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. London: Imperial College Press, 2010.
  15. Pskhu A. V. The Stankovich Integral Transform and Its Applications, Special functions and analysis of differential equations, Т. 9. New York: Chapman and Hall/CRC, 2020. 370 p.
  16. Shishkina E. L., Sitnik S. M. Transmutations, singular and fractional differential equations with applications to mathematical physics . Amsterdam: Elsevier, Academic Press, 2020. 564 p.
  17. Tarasov V. E. Handbook of Fractional Calculus with Applications, Applications in Physics, Part A,, vol. 4. Berlin, Germany: De Gruyter, 2019. 314 с.
  18. Tarasov, V. E. Handbook of Fractional Calculus with Applications, Applications in Physics, Part B, vol. 5. Berlin, German: De Gruyter, 2019. 327 p.

Масаева Олеся Хажисмеловна – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела Дробное исчисление Института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Нальчик, Россия, ORCID 0000-0002-0392-6189.

Читать статьюСкачать статью