Вестник КРАУНЦ.Физ.-мат. науки. 2021. Т. 34. №1. C. 29-46. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска/Contents of this issue

УДК 517.956.6

Научная статья

Задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами

К. Т. Каримов

Ферганский государственный университет, 150100, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19

E-mail: karimovk80@mail.ru

В данной статье изучена задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в прямоугольном параллелепипеде. На основании свойства полноты систем собственных функций двух одномерных спектральных задач, доказана теорема единственности. Решение поставленной задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя.

Ключевые слова: задача Келдыша, уравнение смешанного типа, спектральный метод, сингулярный коэффициент, функция Бесселя

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Поступила в редакцию: 20.01.2021

В окончательном варианте: 22.02.2021

Для цитирования. Каримов К. Т. Задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 34. № 1. C. 29-46. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International
(https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Каримов К. Т., 2021

MSC 35M12

Research Article

The Keldysh problem for a mixed-type three-dimensional equation with three singular coefficients

K. T. Karimov

Fergana State University, 150100, Fergana, Murabbiilar st., 19, Uzbekistan

E-mail: karimovk80@mail.ru

In this article, we study the Keldysh problem for a three-dimensional mixed-type equation with three singular coefficients in a rectangular parallelepiped. Based on the completeness property of systems of eigenfunctions of two one-dimensional spectral problems, a uniqueness theorem is proved. The solution to the problem posed is constructed as the sum of a double Fourier-Bessel series.

Key words: Keldysh problem, mixed type equation, spectral method, singular coefficient, Bessel function.

DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Original article submitted: 20.01.2021

Revision submitted: 22.02.2021

For citation. Karimov K. T. The Keldysh problem for a mixed-type three-dimensional equation with three singular coefficients. Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2021, 34: 1, 29-46. DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-29-46

Competing interests. The author declares that there are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author contributed to this article. The author is solely responsible for providing the final version of the article in print. The final version of the manuscript was approved by the author.

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Karimov K. T., 2021

Список литературы/References

  1. Келдыш М. В., “О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области”, ДАН СССР, 77:2 (1951), 181–183. [Keldysh M.V., “O nekotorykh sluchayakh vyrozhdeniya uravneniy ellipticheskogo tipa na granitse oblasti”, DAN SSSR,
    77:2 (1951), 181–183].
  2. Пулькин С. П., “О единственности решения сингулярной задачи Геллерстеда”, Изв. вузов. Сер.: Математика, 19:6 (1960), 214–225. [Pul’kin S. P., “O yedinstvennosti resheniya singulyarnoy zadachi Gellersteda”, Izv. vuzov. Ser.: Matematika, 19:6 (1960), 214–225].
  3. Вострова Л. Е., Пулькин С. П., “Сингулярная задача с нормальной производной”, Волжский математический сборник, 1966, №5, 49–57. [Vostrova L.Ye., Pul’kin S. P., “Singulyarnaya zadacha s normal’noy proizvodnoy”, Volzhskiy matematicheskiy sbornik, 1966, №5, 49–57].
  4. Сабитов К. Б., К теории уравнений смешанного типа, Физматлит, Москва, 2014, 304 с. [Sabitov K. B., K teorii uravneniy smeshannogo tipa, Fizmatlit, Moskva, 2014, 304 pp.]
  5. Safina R. M., “Keldysh problem for a mixed-type equation of the second kind with the Bessel operator”, Differential Equations, 51:10 (2015), 1347–1359.
  6. Safina R. M., “Keldysh problem for mixed type equation with strong characteristic degeneration and singular coefficient”, Russian Mathematics, 61:8 (2017), 46–54.
  7. Zaitseva N.V., “Keldysh type problem for B-hyperbolic equation with integral boundary value condition of the first kind”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 38:1 (2017), 162–169.
  8. Karimov K. T., “Keldysh problem for a three-dimensional equation of mixed type with three singular coefficients in a semi-infinite parallelepiped”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 30:1 (2020), 31–48.
  9. Urinov A. K., Karimov K. T., “The unique solvability of boundary value problems for a 3D elliptic equation with three singular coefficients”, Russian Mathematics, 63:2 (2019), 62–73.
  10. Уринов А. К., Каримов К. Т., “Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами”, Вестник Самарского государственного
    технического университета. Серия физ.-мат. науки, 21:4 (2017), 665–683. [Urinov A. K., Karimov K. T., “Zadacha Dirikhle dlya trekhmernogo uravneniya smeshannogo tipa s tremya singulyarnymi koeffitsiyentami”, Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriya fiz.-mat. nauki, 21:4 (2017), 665–683].
  11. Каримов К. Т., “Задача типа Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде”, Бюллетень Института математики, 2020, №2, 68–82. [Karimov K. T., “Zadacha tipa Dirikhle dlya trekhmernogo uravneniya smeshannogo tipa s tremya singulyarnymi koeffitsiyentami v polubeskonechnom parallelepipede”, Byulleten’ Instituta matematiki, 2020, №2, 68–82].
  12. Urinov A. K., Karimov K. T., “The Dirichlet Problem for an Elliptic Equation with Singular Coefficients in a Semi-Cylindrical Domain”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 41:9 (2020), 1898–1909.
  13. Уринов А. К., Каримов К. Т., “Задача Дирихле для эллиптического уравнения с тремя сингулярными коэффициентами”, Итоги науки и техн. сер. соврем. мат. и ее прил. темат. обз., 156 (2018), 30–40. [Urinov A. K., Karimov K. T., “Zadacha Dirikhle dlya ellipticheskogo uravneniya s tremya singulyarnymi koeffitsiyentami”, Itogi nauki i tekhn. ser. sovrem. mat. i yeye pril. temat. obz., 156 (2018), 30–40].
  14. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики. Т. 2-33, Наука, Москва, 1972, 810 с. [Tikhonov A. N., Samarskiy A. A., Uravneniya matematicheskoy fiziki. V. 2-33, Nauka, Moskva, 1972, 810 pp.]
  15. Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, Изд. ИЛ, Москва, 1949, 798 с. [Vatson G. N., Teoriya besselevykh funktsiy, Izd. IL, Moskva, 1949, 798 pp.]
  16. Олвер Ф., Введение в асимптотические методы и специальные функции, Мир, Москва, 1986, 381 с. [Olver F., Vvedeniye v asimptoticheskiye metody i spetsial’nyye funktsii, Mir, Moskva, 1986, 381 pp.]
  17. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Физматлит, Москва, 1963, 358 с. [Lebedev N. N., Spetsial’nyye funktsii i ikh prilozheniya, Fizmatlit, Moskva, 1963, 358 pp.]
  18. Толстов Г. П., Ряды Фурье, Наука, Москва, 1980, 384 с. [Tolstov G. P., Ryady Fur’ye, Nauka, Moskva, 1980, 384 pp.]
  19. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, Физматлит, Москва, 2001, 800 с. [Fikhtengol’ts G. M., Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniya. V. 2, Fizmatlit, Moskva, 2001, 800 pp.]
  20. Арнольд В. И., “Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике”, УМН, 18:6 (1963), 91–192. [Arnol’d V. I., “Malyye znamenateli i problemy ustoychivosti dvizheniya v klassicheskoy i nebesnoy mekhanike”, UMN, 18:6 (1963), 91–192].

Каримов Камолиддин Туйчибоевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического
анализа и дифференциальных уравнений, Ферганский государственный университет, г. Фергана, Республика
Узбекистан, ORCID: 0000-0002-9098-4116.

Karimov Kamoliddin Tuychiboyevich – Ph. D. (Phys. & Math.), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Mathematical Analysis and Differential Equations, Fergana State University, Fergana, Republic of Uzbekistan, ORCID: 0000-0002-9098-4116.