Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 39. №2. C. 62-78. ISSN 2079-6641

Содержание выпуска

Read English Version US Flag

УДК 517.97

Научная статья

Об одной задаче управления для уравнения субдиффузии с дробным производным в смысле Капуто

Ю. Э. Файзиев

Национальный университет Узбекистана Узбекистана, 100174, г. Ташкент, ВУЗ городок, Республика Узбекистан

E-mail: fayziev.yusuf@mail.ru

В прямоугольнике Ω для дифференциального уравнения дробного порядка в смысле Капуто исследуется задача управления с помощью функции источника. Другими словами, задача заключается в нахолждении функции источника f(x, y) таким образом, чтобы в результате в момент времени t = θ температура изучаемого обьекта должна быть распределена как заданная функция Ψ(x, y). Найдены достаточные условия на функцию Ψ(x, y), которые обеспечивают и существование и единственность решения задачи управления.

Ключевые слова: производные дробного порядка в смысле Капуто, уравнения теплопроводности, задача управления.

DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-62-78

Поступила в редакцию: 20.06.2022

В окончательном варианте: 12.08.2022

Для цитирования. Файзиев Ю. Э. Об одной задаче управления для уравнения субдиффузии с дробным производным в смысле Капуто // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. на- уки. 2022. Т. 39. № 2. C. 62-78. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-39-2-62-78

Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru)

© Файзиев Ю. Э., 2022

Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет.

Авторский вклад и ответсвенность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

Благодарность. Автор приносит глубокую благодарность академику Ш.А. Алимову за обсуждения результатов работы, а также профессору Р.Р. Ашурову за ценные советы.

Список литературы

  1. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, vol. 204. Elsevier: Amsterdam, The Netherlands, 2006. 540 pp.
  2. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Наука: Москва, 2005.
  3. Lions J. L. Control Optimal de Systems Governess par des Equations aux Derivees Partielles. Paris: Dunod, 1968.
  4. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией, Дифференциалные уравнения, 2000. Т. 36, № 12, С. 1670–1686.
  5. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце струны при свободном втором ее конце, Дифференциалные уравнения, 2005. Т. 41, № 1, С. 105– 115.
  6. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничного управления смещением на одном конце струны, основанная на отыскании минимума интеграла от модуля производной смещения, возведенного в
    произвольную степень p > 1, ДАН РФ, 2006. Т. 411, № 6, С. 736–740.
  7. Fattorini H. O. Time and norm optimal control for linear parabolic equations: necessary and sufficient conditions., Control and Estimation of Distributed Parameter Systems. International Series of Numerical Mathematics, Birkhauser, Basel, 2002. vol. 13, pp. 151–168.
  8. Barbu V., Rascanu A., Tessitore G. Carleman estimates and controllability of linear stochasticheat equations, Appl.  Math. Optim., 2003. vol. 47, pp. 97–120.
  9. Алимов Ш. А. О задачи быстродействия в управлении процессом теплообмена, Узбекский Математический Журнал, 2005. № 4, С. 13–21.
  10. Алимов Ш. А. Об одной задаче управления процессом теплообмена, ДАН России, 2008. Т. 421, № 5, С. 583–585.
  11. Alimov Sh. A., Albeverio S. On a Time-Optimal Control Problem Associated with the Heat Exchange Process, Appl. Math. Optim., 2008. no. 57, pp. 58–68.
  12. Alimov Sh. A. On a control problem associated with the heat transfer process, Eurasian mathematical journal, 2010. vol. 1, no. 2, pp. 17–30.
  13. Alimov Sh. A. On the null-controllability of the heat exchange process, Eurasian mathematical journal, 2011. vol. 2, no. 3, pp. 5–19.
  14. Файзиев Ю. Э., Халилова Н. Об одной задаче управления процессом теплопроводности, Вестник НУУз, 2016. № 2/1, С. 49–54.
  15. Файзиев Ю. Э., Кучкаров А. Ф., Носирова Д. E. Об одной задаче управления процессом теплопроводности в прямоугольнике, Вестник НУУз, 2017. № 2/2, С. 239–244.
  16. Fayziev Yu. E. On the control of heat conduction, IIUM Engineering Journal, 2018.vol. 19, no. 1, pp. 168–177.
  17. Liu Y., Li Z., Yamamoto M. Inverse problems of determining sources of the fractional partial differential equations, Handbook of Fractional Calculus with Applications, 2019. vol. 2, pp. 411–430.
  18. Ashurov R., Fayziev Yu. On the Nonlocal Problems in Time for Time-Fractional Subdiffusion Equations, Fractal and Fractional, 2022. vol. 6, no. 41, pp. 168–177.
  19. Ashyralyev A., Urun M. Time-dependent source identification Schrodinger type problem, International Journal of Applied Mathematics, 2021. vol. 34, no. 2, pp. 297–310.
  20. Niu P., Helin T., Zhang Z. An inverse random source problem in a stochastic fractional diffusion equation, Inverse Problems, 2020. vol. 36, no. 4, 045002.
  21. Slodichka M. Uniqueness for an inverse source problem of determining a space-dependent source in a non-autonomous time-fractional diffusion equation, Frac. Cal. and Appl. Anal., 6. vol. 2020, no. 23, pp. 1703-1711.
  22. Zhang Y., Xu X. Inverse scource problem for a fractional differential equations, Inverse Probems, 2011. vol. 27, no. 3, pp. 31–42.
  23. Kirane M., Malik A. S. Determination of an unknown source term and the temperature distribution for the linear heat equation involving fractional derivative in time, Applied Mathematics and Computation, 2011. vol. 218, pp. 163–170.
  24. Kirane M., Samet B., Torebek B. T. Determination of an unknown source term and the temperature distribution for the subdiffusion equation at the initial and final data, Electronic Journal of Differential Equations, 2017. vol. 217, pp. 1–13.
  25. Nguyen H. T., Le D. L., Nguyen V. T. Regularized solution of an inverse source problem for a time fractional diffusion equation, Applied Mathematical Modelling, 2016. vol. 40, pp. 8244–8264.
  26. Li Z., Liu Y., Yamamoto M. Initial-boundary value problem for multi-term time-fractional diffusion equation with positive constant coefficients, Applied Mathematica and Computation, 2015. vol. 257, pp. 381–397.
  27. Rundell W., Zhang Z. Recovering an unknown source in a fractional diffusion problem, Journal of Computational Physics, 2018. vol. 386, pp. 299–314.
  28. Malik S. A., Aziz S. An inverse source problem for a two parameter anomalous diffusion equation with nonlocal boundary conditions, Computers and Mathematics with applications, 2017. vol. 3, pp. 7–19.
  29. M., Tokmagambetov N., Torebek B. T. Inverse source problems for positive operators, J. Inverse Ill-Possed Probl, 2019. vol. 27, pp. 891–911.
  30. Ashurov R. R. Muhiddinova O. Inverse problem of determining the heat source density for the subdiffusion equation, Differential equations, 2020. vol. 56, no. 12, pp. 1550–1563.
  31. Ashurov R., Fayziev Yu. On construction of solutions of linear fractional differentional equations with constant coefficients and the fractional derivatives, Uzb. Math. Journ., 2017. no. 3, pp. 3–21.
  32. Shuang Zh., Saima R., Asia R., Khadija K., Abdullah M. Initial boundary value problems for a multi-term time fractional diffusion equation with generalized fractional derivatives in time, AIMS Mathematics, 2021. vol. 6, no. 11, pp. 12114–12132.
  33. Ashurov R., Fayziev Yu. Inverse problem for determining the order of the fractional derivative in the wave equation, Mathematical Notes, 2021. vol. 110, no. 6, pp. 842–852.
  34. Kirane M., Salman A. M. Mohammed A. Al-Gwaiz An inverse source problem for a two dimensional time fractional diffusion equation with nonlocal boundary conditions, Math. Meth. Appl. Sci., 2013. vol. 36, no. 9, pp. 1056-1069.
  35. Ashurov R., Fayziev Yu. Determination of fractional order and source term in a fractional subdiffusion equation, Eurasian Mathematical Journal, 2022. vol. 13, no. 1, pp. 19–31.
  36. Ashurov R., Fayziev Yu. Uniqueness and existence for inverse problem of determining an order tional derivative of subdiffusion equation, Lobachevskii journal of mathematics, 2021. l. 42, no. 3, pp. 508–516.

Файзиев Юсуф Эргашевич – кандидат физико- математических наук, доцент, физико-математического факультета Национального университета Узбекистана, г. Ташкент, Узбекистан, ORCID 0000-0002-8361-2525.